正弦函数与余弦函数的图像教学设计

第五章三角函数正弦函数、余弦函数的图像本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。课程目标学科素养1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法。2.能用五点作图法作出简单三角函数的图象，渗透数形结合和化归的数学思想。3.通过用不同的方法作正弦函数与余弦函数的图象，渗透直观想象、数学建模、数学抽象、逻辑推理等学科核心素养。a.数学抽象：由五点作图法；b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像；c.数学运算：特殊三角函数的求解；d.直观想象：运用函数图像分析问题；e.数学建模：正弦函数图像及其变换；教学重点：理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法。教学难点：如何利用三角函数的定义确定正弦函数图像上任意一点的坐标。教学过程设计意图核心教学素养目标创设问题情境1、画一个函数的图像，其最基本的方法是什么？2、画函数y=sinx的图像，如何确定正弦函数值的大小，并相应的画出点？（二）问题探究如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使x0的值分别为0,π6,π3,π2,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（事实上，利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx根据函数y=sinx，x

∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x

∈R的图象吗？由诱导公式一可知，函数y=sinx，x

∈［２kπ，２（k＋１）π］，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx，x

∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y=sinx，x

∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x

∈R的图象（图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图，在函数y=sinx，x

∈［0,2π］的图象上，以下五个点：0在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y=sinx，x

∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin⁡(x+π2)而函数y=sinx+π2,x

∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx，x

∈R的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y=cosx类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，然后画出y=cosx，x

∈［－π，π］的简图（三）典例解析用“五点法”作出y＝sinx+2，x∈[0,2π]；的简图．方法与规律1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与平衡点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．通过对三角函数定义的回顾，提出新的问题，提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；四、小结1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲