行列式知识点汇总

行列式矩阵kaaaaaakakaka(kaaa](aaa](kakaka]11121n11121n11121n11121n11121n11121nkaaa=kaaakA=kakaka=kn|A|kaaa丰kaaakakaka21222n21222n，21222n21222n21222n=21222nkaa•••aaa•••akaka•••ka,kaa•••a丿... nn<aa•••a丿… nn,kaka•••ka丿... nnn1n2… nnn1n2… nnn1n2… nn' n1n2Vn1n2' n1n2IA=a••••••11a+b•••2121a•••12a+b2222a•••••1na+b•••2n2na11a=21a12a22an1an2annaan1n2aaaa1】1f12…1nabbb2n+2T222naa•••aannn1n2 …nn(a+ba•••12+ba•••1n+b](aaa..'(bbb]11…11…12…1n11…12…*1n•11121nA=a+ba+ba+baaabbb2121…22222n2n=2122•2n+21222n.a+ba•••+ba+b丿.a•••aa丿jbb•••bJ'm1m1m2m2 …mnmn丿'm1m2 …mn/m1m2… mnn阶行列式中，共有n!项，其中正、负各一半，若负项个数为偶数，必有n>4伴随矩阵■代数余子式定理M为a的余子式，A亠(―1)+jM为a的代数余子式;ijij ij ijij为aAkjijj|A|0k二i，为aAk丰i jkji(aaa、(AAA]11121n•••1121n1aaanA*=AAA21222n1222n2a■a••a.A■A••A(A为a的代数余子式)ijijn1n2nn1n 2nnn丿克莱姆法则即AX=B当|A|丰0有且仅有唯一解Xj=Aj/|A|•••••••••••••••A*(1)A*A=AA*=|AjE A可逆>a-1=-AaX+ax++aX=b1111221nn1aX+ax++aX=b2112222nn2aX+ax■<+B.+aX=bn11n22■<… nnnnn元n阶非齐次线性线性方程组:r(A)=n

r(A)=n-1r(A)<n-1其中Ajan1aba1211naba2222na•••bnan2•••nnaiia21(5)A=(ab]na*—(d-b、nA-1- 1(d-b]<cd><-ca丿ad-bc<-ca丿aX+aX++aX二二01111221nnaX+aX++aX二=02112222nnnaX+aX■ 4+i■+aX二=0n11n22■<.. nnnn元n阶齐次线性线性方程组:齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：|纠=0。如果|A|丰0，齐次线性方程组只有唯一的零解A(A*)-1==A(kA)*=kn-1A(A*)T=(At)*(A0丫」"A-1 0 BA* 0)[0bJ1叫0B-J[0 |A|BJA*=An-1(AB)*=B*a*(A*)*=|A|n-2A转置矩阵及对称矩阵(AB)t=BtAt，A为对称矩阵nAT=A；A为反对称矩阵nAt=-An阶数n为奇数时，|A|=0范德蒙行列式an-1 an-1121an=11(a-a)

ji

1<ivjWnan-1nA和B均为对称矩阵，AB为对称矩阵的充要条件：AB=BAA为正交矩阵时nA*也为正交矩阵；A为对称矩阵时nA*也为对称矩阵；A为反对称矩阵时n(A*)t=(-1)n-1A*nA阶数n为奇数，A*为对称矩阵；n为偶数时，A*为反对称矩阵A0=E；AK=O(k〉1)时不一定有A=0准对角矩阵准对角矩阵矩阵A=（a）可逆的充分必要条件：|A|丰0（A为非奇异矩阵）（可逆矩阵一定是方阵）ijnxn |I(i)(AB)-i=B-iA-i(2)(KA)-i=KA分块矩阵(A0"A-iI0(3)A可逆nAt可逆n(At)-i=(A-i)t-A-iBD-i'D-i0、D>'A-i0、j—D-iCA-iD-i丿nA-i=rA-iiA-i2a、i，a2.aV3丿-1rA0、nA-i—‘A-i0、J0D丿J0D-i丿A=D丿"0B、nA-i="0C-i]jC6jB-i0>A=AB，=(-i)mnA|B|"i00、—i厂i 0 0、厂i 0 0、—iri00、ri00、—iri00、0i0—0i0，00i—00i，0k0—0—0kjk 0 1‘j-k 0 i‘joi0丿joio丿j0 0 i丿00i,A-it丿3At丿ra00、an00、A—ii0a220nAn—ii0an220j00•••a丿… nnj00•••an丿… nnraAA、iii2inAAA，分块矩阵转置A—2i222n,A■A••A丿mim2 ... mn"AtAtAt'ii2imiAtAtAt转置TAt—i222m2Aj为分块矩阵、AtAt•••At丿' in2n… mn7矩阵的秩矩阵A=（a）存在个K阶子式不为零，并且所有的K+i阶子式全为零，则称A的秩为K,记为：r（A）=kijmxn矩阵A=(a)可逆的充分必要条件：r(A)=nijnxn任一矩阵每减少一行(或列)其秩减少不超过i矩阵A=(a) nr(A)<min{m,n}设A=(a) ，B=(a)nr(AB)<min{r(A),r(B)}ijmxs ijsxnA.B均为n阶方阵nr(AB)>r(A)+r(B)—nA为mxn矩阵，B为nxs矩阵，当AB—0时，r(A)+r(B)<n{n为A的列数}r(A)+r(B)>r(A+B)，当A+B=kEnr(A)+r(B)>n由r(AB)<min{r(A),r(B)}n若r(A)=ina可分解为A=na的特征值九=ab+ab+ +ab，九=0 {当r(i ii 2 2 nn 2ra、1a2jan丿A)=(b b b)，且A2=(ab+ab++ab)Ai 2 n ii 2 2 nni时，A2=A其中=工anAm=m—iA}°°iiAB—0时，A和B可以不为方阵，r（A）+r（B）＜n中的n为A的列数｛理解为AX—0中X的个数｝"••・r(A)=r(AT)=r(ATA){Ax=0和ATAx=0同解；(Aa)T(Aa)=0nA=0}若Az0nr(A)>i；(3)若A可逆nr(AB)=r(B)，若b可逆nr(AB)=r(A)求逆矩阵：（A，E）行初等变化＞（E，A-i）求AX=B的解：（A，B）行初等变化＞（E，A-iB）

AB型AB=(a,a, ,a)1 2 n•••主壬AR比万il白昌“口刁(b b b )11 12 Isb b b21 22 2s.b b b 丿n1 n2 ... ns7rhA 万il白口型丿卜4?=(工ba,工ba,工ba)i1i i2i isii=l i=l i=l—nr(AB)<r(A)等价A=B(1)向量组与它的极大无关组等价；(2)向量组的任意两个极大无关组之间等价；(3)两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相同向量组a,a, ,a可由向量组卩，卩，，卩线性表示，则r(a,a, ,a)<r(卩,卩,,卩)｛向量组卩，卩，，卩可由向量组a,a, ,a线性1 2 s 1 2 t 12 s 12 t 1 2 t 1 2 s表示，则r(卩,卩，，卩)<r(a,a, ,a)｝nr(A)=r(B)nA=B1 2 t 1 2 s仔zj、/mujyij|ij里亢ij 口丁IT里沁纠・|工仔zj、—丄亠丿—丄7AB=0表示B的列向量是齐次线性方程组AX=0的解AB=0(A和B均非零矩阵)nr(A)+r(B)<nnr(A)<n,r(B)<nnA的列秩vn｛A的列向量线性相关｝,B的行秩vn｛B的行向量线性相关｝AB=0nAB=A(P,卩,,卩)=(A卩,A卩,,A卩)=(0,0,,0)nA卩=0n卩是方程组AX=0的解nr(P,卩,,卩)<n-r(A)1 2 n 12 n i i 1 2 n••・••・A和B为任意两个非零矩阵，AB=0nA的列向量线性相关，B的行向量线性相关A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，当AB=EnA的行向量线性无关，B的列向量线性无关••••••••••••线性方程组AX=B有解Or(A)=r(A)(1)r(A)=r(A)=r=n唯解；(2)r(A)=r(A)=rvn无穷多个解；(3)r(A)丰r(A)无解AX=B，其中设A=(a,a, ,a)，X=(x,x,,x)t，B=(B,卩,,卩)1 2 s 1 2 s 1 2 s方程组有解n(1)r(A)=r(A|B)等同r(a,a,,a)=r(a,a,。卩,卩，，卩)1 1 2 s 1 2 s1 1 2 s(2)卩，卩，，卩可由a,a,,a线性表示(X,x,,x类似系数k,k,,k)齐次线性方程组AX=0(1)r(A)=r=n仅有零解；(2)r(A)=rvn无穷多个解(包括零解)n如果方程的个数<未知量的个数，即A的行数v列数nAX=0必有非零解A是mxn矩阵，AX=0有非零解or(A)=rvnOa的列向量线性相关A列向量组线性无关nAX-0只有零解；A行向量组线性无关nat列向量组线性无关nATX=0只有零解r(A)=r(AT)=r(AAT)，若AAT列向量=r(A)nAATX=0只有零解•1••厶 s 丄 S 丄.上. S 丄厶 B设a,a, ,a线性无关，卩，P,,卩可以由a,a, ,a线性表示，且(卩,卩，，卩)=(a,a, ,a)A1 2 s 1 2 s 1 2 s 12 s 12 s•••••••••nP1，卩2，,卩s线性无关的充要条件是|A|.于0 ...如果a，a；,a是AX=0的基础解系，要使卩，卩，…,卩也是AX=0的基础解系u卩，卩，，『线性无关，且12 s 12 s 12 s卩，卩，，卩可由a,a,,a线性表示，即r(a,a,,a)=r(a,a,,aP,卩，，卩)1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2 s〔12 s向量卩可以表为向量组a,a, ,a的线性表示法唯•的充分必要条件：a,a, ,a线性无关…1 2 s 1 2 s向量组a.,a,,a线性无关，而向量组a,a,,a,卩线性相关n向量卩可以表为向量组a，a，，a线性组合12 s 12 $•••••• … 1 2 s如果耳,n,,n为ax=0的解向量组的一个极大无关组，则称耳,n,,n为该方程组的一个基础解系1 2 s 1 2 s只有当齐次线性方程组AX=0存在非零解时，才会存在基础解系AX=0中系数矩阵A的秩r(A)=rvnn方程组得解向量组的秩为n-r••・ ••・向量组a,a,,a可由向量组卩，卩，，卩线性表示，且s>t …1 2 s 1 2 tna,a, ,a的线性相关1 2 s••・••・｛三个向量可以由两个向量线性表示，则该三个向量必线性相关｝向量组a,a,,a线性无关，且可由向量组卩，p•；,卩线性表示ns<t1 2 s 1 2 tn如果向量组a,a,,a可由向量组卩，卩，，卩线性表示，1 2 s 1 2 t… 则r(a,a,,a)<，r(P,卩,,卩)1 2 s 1 2 t(解释：a「a2，，a中的极大线性无关组可由片，卩2，，卩t中的极大线性无关组来表示，根据性质(2))1 2 s•… 1 • tax=0通解：x=kn+kn+ +kn；1 1 2 2 n-rn-rax=b通解.x=n+kn+kn+ +kn• 0 1 1 2 2 n-rn-r(n为ax=b的特解，n,n,,n为其导出组ax=0的一个基础解系)0 … 1 2 n-r如果n,n是ax=b的两个解nn-n是其导出组ax=0的解121**2设n,n,,n是ax=b的解，且k+k++k=1nkn+kn+ +kn也是ax=b的解1 2 s 1 2… s 11 2 2 ss设n,n,,n是ax=b的解，且k+k++k=0nkn+kn+ +kn也是ax=0的解 1——2 s 12 s ^-12—2 s—s

线性组合极大线性无关组正交化B=(b,b,,b)t a=(a,a,,a)T (s=1,2,..…)1 2 n s 1s 2s ns8]=(1，°，，0)t，£ =(0,1, ,0)t，••…,£=(0,0, ,1)t121••••••如果一个向量组a,a, ,a中的部分向量组a,a, ,a(t<s)1 2 s 1 2 ta,a, ,a线性无关1 2 t向量组中的每一个向量都可以表为a,a, ,a的线性组合… 12 t…(将向量组中的任意一个向量添加到部分组a,a, ,a中，得到新的向量组… 1 2 t都线性相关)•••na,a, ,a为该向量组的一个极大线性无关组1 2 t …••・Rn的标准正交基a—(a,a,,a)t B—(b,b,,b)t12 n 12 n向量内积性质：(1)aTB=BTa••••••(2)aTa>0，且aTa—0oa—0(3)at(B+y)=atB+aty向量a的长度(或模)为屜Ta，记为a(自身内积)如果存在组数k,k,,k，使得卩=ka+ka+ +ka1 2 s 1122 ss•••••••••n向量卩可以表为向量组a,a, ,a线性表示1 2 s••・••・零向量OuRn，可由Rn中的任意向量组a,a, ,a线性表示；1 2 s••・在Rn中任意向量卩均可为8,8, ,8的线性表示1 2 n向量组的秩：向量组a,a, ,a的极大无关组所含的向量个数，为该向量的秩，记1 2 sr(a,a, ,a)1 2 s向量组a「a2,a线性无关nr(a「a『,a)=s{a,a,,a}={p,卩,,卩}nr(a,a,,a)—r(卩,卩,,卩)1 2 …s 1 2 t 1 2 s 1 2 s(两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等)••• •••••・ ••・••• •••向量长度性质线性相关:存在R中S个不全为零的数k,k,,k，使得ka+ka+ +ka=012 s 1122 ss线性无关：只有k=k= =k=，0时，ka+ka++ka=0才成立a>0且||catp<a|11|=0oa—0；ka=ka||B，且at卩=||a|B|oa,B线性相关12 s 1122 s s单位向量组8,8, ,8线性无关 … …1 2 n充分必要条件a,a,,a可以表示任个n维向量oa,a,,a与8,8,,8等价12 n 12 n 1 2 nna,a,•；a线性无关充分必要条件：a,a, ,a可表示任个n维向量1 2 n 1 2 n向量卩可以表为向量组a,a, ,a的线性组合的充分必要条件：•… 1 2 s •… •…s元非齐次线性方程组有解••••••向量组a,a,,a线性相关os元齐次线性方程组有解；12 s …向量组a,a,,a线性无关os元齐次线性方程组仅有零解12 s在Rn中向量组a,a, ,a的线性相关的充分必要条件：•••1 2 sa,a, ,a中至少有一个向量可以表为其他向量的线性组合-T 2 s两个向量线性相关的充要条件：对应兀素成比例1非零向量化为单位向量或标准化向量的方法：问a施密特正交化方法设a,a, ,a是Rn中的一个线性无关的向量组，令1 2 sB=a，Ba a2TP1B，B=a B B1 •••1，卩2=a2 B2TB1B1， 3 3BtB1BtB21122aTBqaTBq atBqB=a——B——^-2B- —ssiBssbtB1BtB2 BtB s-11 1 2 2 s-1 s-1nB，B，，B是个正父向量组，且{B,B, ,B}-{a }1 2 s …1 2 s 1 2 s••・••••••Rn中的几个(1)a,a12⑵卜』=即：A—(a(、at1、向量a,a, ,a满足：1 2 n,,a中任意两个向量都正交n：1n称a，a.., ,a为Rn的一个标准正父基1 2 n；a, ,a)，1 2 n••・/、aTaaTa aTa1 1 1 2 1 n… aTaaTa aTanAtA— 2 1 2 2 2 n、aTaaTa aTa丿V n 1 n 2 n 27i=1..na,a,,a为标准正交基，a为正交矩阵i丰i 1 2 n向量组a,a, ,a的线性无关{a=(a,a,,a)t}，若将该向量组的每一个向1 2 s j 1j2j nj量都增加m个分量，得到向量组a；a‘, ,a‘线性无关1 2 s••・•••{a=(a,a, ,a,a , ,a )T}；若或者线性相关，则刖者也必然相关。j 1j2j nj (n+1)j (n+m)jaAt—[aaTa—vT2T丿n10向量组的个数大于向量组的维数n此向量组线性相关(列〉仃)Rn中的任意n+1・个向量一定线性相关J••・矩阵特征值和特征向量相似矩阵与矩阵可对角化设A为n阶矩阵，如果对于数X，存在非零列向量aeRn，使得Aa=Xa，00则称X为a的一个特征值，a为A的属于特征值X的特征向量设A*/为n阶矩阵，则X0为A的特征值，a为A的属于特征值X0的特征向量的充分必要条件:（1）X为特征方程IXE—a=0根；（2）a为齐次线性方程组（XE—A）X=0非零解（1）设X是a的一个特征值n0X2是A2的一个特征值0Xm是Am的一个特征值01X是A-1的一个特征值0A|/X0是A*的一个特征值X对应的特征向量与其他特征值0»对应的特征向量也相同注：Am的特征向量不一定是A的特征向量（2） 设A是n阶矩阵nA与At有相同的特征值n特征向量不一定相同（3） 相似矩阵的特征向量是不一样的，若a为A的特征向量,aBnb的特征向量是P-1a（4） n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零设a是n阶矩阵，X,X是A的m个不同的特征值，1 ma,a分别是a的属于X,X的特征向量na,a线性无关1 m 1 m 1 m特征值和特征向量求矩阵：A(a•,a,,a)=(Xa,Xa•,,Xa)n…1 2 n 11 2 2 nnA=(Xa,Xa,,Xa)(a,a,,a)-111 2 2 nn1 2 n矩阵a的所有特征值之和等于Eaiii=1X+X+ +X=a+a+1 2... m 11 22+a；nn矩阵a的所有特征值之积等于Al XXX=|a11 12m… …（若a不可逆n0是a的特征向量）（n阶矩阵a可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零）设A、B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P-iAP=Bn矩阵A与B相似，记AB性质：（1）（反身性）aa（2）（传递性）aB，BCnaCBnAtBt,AmBm；|A=B,r（A）=r（B）；当a可逆时,ABBA｛uA-1（AB）A=BA｝a-1B-1｛相似矩阵都可逆或都不可逆｝；a，B具有相同特征值｛|XE—A=|XE—B|｝[A、b有相同特征值,A和B不定相似]相似矩阵实对称矩阵正交矩阵矩阵可对角化f(A)f(B)，|f(A)|=|f(B)|(其中：f(A)为n阶方阵A的