武汉大学2023年《信号与系统》试卷(A)

本文格式为Word版，下载可任意编辑——武汉大学2023年《信号与系统》试卷(A)武汉大学考试卷（A卷）

课程：信号与系统（闭卷）（2023/05/08）

专业班级姓名学号

题号一（20分）二（12分）三（18分）四（15分）五（10分）六（10分）七（15分）总分得分

一、填空题（每空2分，共20分）

得分１．已知某系统的输出r(t)与输入e(t)之间的关系为

r(t)?n????e(t)?(t?nT)，其中T为常数，则该系统是（线性/非线性）线性系统。

?２．?sin(x)?(x?????2)dx?-1。

３．连续时间系统的传输算子为H(p)?p?3，则描述该系统的方程为

(p?1)(p?2)r??(t)?3r?(t)?2r(t)?e?(t)?3e(t)，该系统的自然频率为-1、-2。

４．信号f(t)=5cos(3?t)+10cos(5?t)的周期是_2_，其平均功率等于62.5瓦。５．信号f(t)的最高频率为fm?10kHz，其奈奎斯特抽样频率?s?4??104弧度/秒，信号f(0.1t)的fm?1kHz，f(0.1t)的奈奎斯特抽样间隔Ts?500?s。６．已知离散时间LTI系统的单位函数响应为h(k)?kcos(?k/3)u(k)，则该系统为（稳定/不稳定）不稳定系统。

二、（12分）已知f(t)的波形如图一所示。f(t)（1）写出f(t)的表达式；1t（2）画出g(t)?2f(??1)的波形；01t

2dg(t)（3）求h(t)?的傅里叶变换。图一

dt

1

得分解：（1）f(t)?t[?(t)??(t?1)]（2分）

（2）f(t/2)f(-t/2)g(t)211（4分）02t-20t02t（3）h(t)（2）2th(t)?2?(t)?[?(t)??(t?2)]（2分）-1

H(j?)?2?[??(?)?

11](1?e?j2?)?2?(1?e?j2?)（4分）j?j?三、（18分）已知f(t)的频谱函数为F(j?)，其频谱图如图二所示。

得分（1）求f1(t)?f(?2t)ej2t的频谱函数F1(j?)的表达式；

F(j?)（2）画出F1(j?)的波形；2（3）求f(t)的表达式。?图二

?101（4）若让f(t)经过图三所示系统，试绘出A，B，C，D各点的信号频谱图。系统中理想高通滤波器HH(j?)和理想低通滤波器HL(j?)在通带内的传输值均为1，相移均为0，其系统函数如图四所示。

f(t)A理想高通BC理想低通Dr(t)

2tcotscos图三HH(j?)HL(j?)11

－101?－101?图四

1?解：（1）f(?2t)?F(?j)?F11(j?)，f1(t)?F2)]j?)1F1[?j?(1(?2211F1(j?)?F[?j(??2)]??(?)??(??4)?G4(??2)（4分）

22

2

F1(j?)（2）

1

（2分）

?40

（3）F(j?)?2G2(?)由于G?(t)??Sa(),?Sa(t)?2?G?(?)（对称性质）222???22t??Sa(t)?Sa()（4分）所以f(t)?2?2?21（4）fA(t)?f(t)cost?FA(j?)?[F(j??j1)?F(j??j1)]?G4(?)

2???FB(j?)?FA(j?)HH(j?)?G1(??1.5)?G1(??1.5)

t2fC(t)?fB(t)cos?j)?FC(?C1F?(j?)2BF?[?j(j?2B)?F?j(

j2)]1[G(?3.?5)G)(1?2?(?G1??21?)?F(?j)H(?j?)(FD(j)CL2G?23.5)]FA(j?)FB(j?)FC(j?)FD(j?)111/21/2-202-2-1012-4-3-10134-101（2分）（2分）（2分）（2分）

四、（15分）某LTI系统保持初始状态不变。已知当鼓舞为e1(t)??(t)时，其全响应为r1(t)??(t)?e?t?(t)；当鼓舞为e2(t)?e?t?(t)时，其全响应为r2(t)?3e?t?(t)。

（1）求系统的单位冲激响应h(t)，说明其因果性；（2）写出描述系统输入输出关系的微分方程；（3）求当鼓舞为e3(t)??(t)??(t?1)时的全响应。解：（1）设该系统的零输入响应为rzi(t)，则由题意，有rzi(t)??(t)*h(t)??(t)?e?t?(t)

得分3

rzi(t)?e?t?(t)*h(t)?3e?t?(t)对两式分别取拉氏变换，得

1?R(s)?H(s)?1???zis?1?

13?R(s)?H(s)?zi?s?1s?1?1?H(s)?1???h(t)??(t)??(t)?s解之得，?即?（4分）?t11?rzi(t)?(1?e)?(t)?R(s)??zi?ss?1?由于系统单位冲激响应满足：h(t)?0,t?0，故该系统是因果系统。（2分）（2）由零输入响应知系统有两个特征根：0、-1，故系统函数

(s?1)(s?1)s2?1H(s)??2s(s?1)s?s则系统方程为：r??(t)?r?(t)?e??(t)?e(t)（3分）

1（3）E3(s)?(1?e?s)

s111Rzs3(s)?H(s)E3(s)?(1?)(1?e?s)?E3(s)?2(1?e?s)

sssrzs3(t)??(t)??(t?1)?t?(t)?(t?1)?(t?1)?(1?t)?(t)?(t?2)?(t?1)故全响应r3(t)?(2?t?e?t)?(t)?(t?2)?(t?1)（6分）

五、（10分）某因果系统如图五所示。

得分（1）写出该系统的系统函数；（2）试问K为何值时，系统稳定；（3）在临界稳定条件下，求冲激响应。

+E(s)+ss2?4s?4图五解：（1）H(s)?KY(s)

G(s)KsKsKs?2/(1?2)?2（3分）

1?G(s)s?4s?4s?4s?4s?(4?K)s?4（2）当4?K?0,即K?4时，系统稳定。（3分）

4

（3）当K=4时，系统临界稳定，此时系统函数

4sH(s)?2

s?4?t2t(则系统冲激响应h(t)?4cos（4分）

六、（10分）设计一个离散系统，使其输出y(k)是:k,k?1,之平均。

（1）确定描述该系统输出y(k)与输入e(k)之关系的差分方程；（2）求该系统的系统函数H(z)；

（3）当M?3时，采用加法器，标量乘法器和单位延时器画出系统的结构框图，

要求尽可能地少用单位延时器。

解：（1）依题意，输出y(k)与输入e(k)之关系的差分方程为

1{e(k)?e(k?1)??e(k?M?1)}（3分）M1[E(z)?z?1E(z)???z?M?1E(z)]（2）由于Y(z)?My(k)?,k?M?1各点输入

得分Y(z)11所以H(z)??[1?z?1???z?M?1]?E(z)MM13M?1n?0?z?n（3分）

?1?2（3）M?3时，H(z)?[1?z?z]（1分）

M?3时系统的结构框图：

E（z）1/3Z-1Z-1Y（z）（3分）

七、（15分）已知某离散系统的差分方程为y(k?2)?5y(k?1)?6y(k)?e(k?1)，试求解以下问题：

（1）若系统是因果的，求系统的单位函数响应h(k)；（2）若系统是稳定的，求系统的单位函数响应h(k)；

（3）求系统在初始条件yzi(0)?2,yzi(1)?1下的零输入响应yzi(k)；（4）若系统函数的收敛域为2?z?3，求此时系统在单位阶跃序列?(k)鼓舞下的零状态响应yzs(k)。

5

得分解：（1）对系统差分方程取Z变换，得(z2?5z?6)Y(z)?zE(z)则系统函数表达式为H(z)?zzz??2z?5z?6z?3z?2系统是因果的，则系统函数的收敛域为z?3

系统的单位函数响应h(k)?(3k?2k)?(k)（3分）

（2）若系统稳定，则系统函数的收敛域一定包含单位圆，即为z?2此时系统为反因果系统，系统的单位函数响应

h(k)?(2k?3k)?(?k?1)（3分）

（3）系统有两个不相等的特征根：2、3，则零输入响应yzi(k)?(c12k?c23k)?(k)

代入初始条件yzi(0)?2,yzi(1)?1，得

?yzi(0)?c1?c2?2?c1?5?解之得?