高三数学函数全章：3函数的解析式

函数解析式编辑ppt在给定条件下求函数的解析式f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法.下面谈谈求函数解析式

f(x)

的方法.一、配凑法例1已知

f()=+,求f(x).xx+1x2x2+1x1∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解:∵f()=+xx+1x2x2+1x1=1++x21x1=(

+1)2-(+1)+1x1x1并且≠1,xx+1=()2-()+1xx+1xx+1

评注:若在给出的函数关系式中与的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系.

+x2x2+1x1xx+1编辑ppt二、换元法所以f(x)=2lnx-3(x>0).

评注:通过换元,用“新元”代替原表达式中的“旧元”,从而求得

f(x).又如:已知f(cosx-1)=cos2x.求f(x).例2已知f(ex)=2x-3,求f(x).解:设t=ex,则x=lnt且t>0,有:f(t)=2lnt-3(t>0).f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)三、解方程组法例3已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).xx-1解:记题中式子为①式,用代替①中的

x,整理得:xx-1f()+f()=②,xx-11-x1x2x-1再用代替①中的

x,整理得:1-x1f()+f(x)=③,1-x11-x2-x解由

①,②,③

组成的方程组,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.编辑ppt

评注:把f(x),f(),f()都看作“未知数”,把已知条件化为方程组的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,|a|≠|b|,求f(x).xx-11-x

11xf(x)=(ax-

).a2-b2cbx四、递推求和法

例4已知

f(n)-f(n-1)=an,n

为不小于

2

的自然数,a≠0

且f(2)=8,求

f(n)

的解析式.解:由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,…,f(n)-f(n-1)=an,

将这(n-2)个式子相加,得:评注:这是运用数列中递推公式的思想.f(n)-f(2)=a3+a4+…+an=n-2(a=1

时);a3(1-an-2)(1-a)-1(a≠1

时).∴

f(n)=n+6(a=1

时);8+(a3-an+1)(1-a)-1(a≠1

时).∵

f(2)=8,编辑ppt五、待定系数法例5设f(x)是二次函数，f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).

解:可设:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比较系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有:f(x)=x2-1.

又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)

与

13x2+6x-1

表示同一个式子,即13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1

.f(x)=ax2+bx+c（a0）,从而有:编辑ppt例6已知

f{f[f(x)]}=27x+13,且

f(x)

是一次式,求

f(x).解:由已知可设

f(x)=ax+b,则:

f[f(x)]=a2x+ab+b.∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.由题意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.比较系数得:a=3,b=1.故f(x)=3x+1.编辑ppt六、数学归纳法例7已知

f(n+1)=2+

f(n)(n∈N+),且

f(1)=a,求

f(n).12解:

f(1)=a

f(2)=2+a

12=4-21+2-1a,故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下:f(5)=2+f(4)12f(3)=2+f(2)=3+a

1214=4-20+2-2a,f(4)=2+f(3)=+a

127218=4-2-1+2-3a,=4-