飞鸽考研-线代基础讲义

考研数学线性代数基础讲主讲：：名师，博士，著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨育《入学统一考试数学考试参考书（大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（15分钟主旨。首创“题源教学法”，对欢迎使 第一讲基础 第二讲 第三讲应用 第一讲行列式与矩一、从行列式讲

a12a a

11 12

是由三3维向量(a11a12a13，(a21a22a23，(a31a32a33D

是由nn维向量组成，其结果为以这n an n维图形的n维体积（素上,行列式的值不变；★重要观点如果行列式不等于零，那么组成行列式的向量全独立如果行列式等于零，那么组成行列式的向量中至少有一个多余 a12a aa

11 12

a11a22a33a12a23a31a21a32a13a13a22a31a12a21a33a23a32a11二、矩阵的本质是什Amn，满足

r(A)①存在k0②任给(k1)0rAk①存在k0k②任给(k1)0任给(k1)有且仅有k个独立向量rA)k★重要观点 a1n 矩阵 aa aa m mn其本质为秩r(A)组成A的独立向量的个数.化矩阵A为行（最简）A满足：1）若有零行全在矩阵下方；2）从行上看，自左边起，出现连续零的个矩阵初等变换法 0 0 3 4 1 2

第二讲向量组与方程axaxa1nxnb1ax1amnxna11a am1a12a22x2 am2a1n amnb1b2 bmxnn★重要观点21 22 2n

21

2n ,s中有没有多余的向量 ,s第1章行列式 , 第2 r(1,2 ,第2 r(, ,) 3章 ,xs，使得x11x22 xss0成立， ,s为线性相关.（多余若x11x22 xss0成立，必须要求x1x2 xs0，称 ,s为4章

x1x2, ,

0有非零解.（齐次xsx1 , ,x20只有零解 xs ,s线性相关，则向量组1,2, ,s,s1线性相关； ,s线性相关，则向量组1,2, ,s1线性相关性不确定. ,s线性无关，则向量组1,2, ,s,s1线性相关性不确定； ,s线性无关，则向量组1,2, ,s1线性无关.若向量组, ,线性相关，则向量组

1

2，

s 1

2

s性相关性不确定若向量组1, ,s线性相关，则向量组 ,s线性相关若向量组 ,s线性无关，则向量组1, ,s线性无关若向量组1, ,s线性无关，则向量组 ,s线性相关性不确定能否由

,线性表示

第1章行列式 ,s,

,s 第2

,s,)=r(1, ,,s,)r(1, ,s)3章如果存在一组数x1,x2 ,xs，使得x11x22 xss成立，则称可 ,s线性表示不存在任何一组数x1,x2 ,xs，使得x11x22 xss成立，则称不可 ,s线性表示4章

x1 , ,x2有解.（非齐次 s xsx1 , ,x2无解 s xs①定义：从向量组 ,s中取出向量组i1,i2 ,ir(rs)，若其满线性无关；2）向量组 ,s中任一向量i均可由其表示则称向量组 ,ir为向量组 ,s的一个极大线性无关组②应用——Ax0有无穷多个解向量，一般用基础解析来表示★重要观点Ax0的无穷多解的极大无关组Ax0的基础解析.设1,2s，若其满足Amnx0的解Ax0则称1,2sAx0snrA设（I）1,2,,s（II）12, 11 12 1tk 11 12 1tkkk

21 22 sks11ks22kst1l111l122Ax0（齐次方程组rAnAx00rAnAx00解（无穷多解）)③按照基础解系的定义反着走④全部解（通解）k11k22x1x2x34x43x502xx3x5x5x0 【例】求

x1 3x1x25x36x47x5Ax（非齐次若Ax0的任一解，*AxA0,A*A(*；Ax的全部解Ax0的全部解Ax的一个特解；即全部解（通解）k11k22kss*x1x2x3x4x5【例】 x22x32x46x5b，当a,b为何值时，方程组有解，并求出全部解3x12x2x3x43x55x14x23x33x4x5第三讲特征值与二次引22 xxyy1

2 23 f(x,x,x)ax2ax2ax22axx2axx2ax 11 22 33 121 131 232f(xxxxTAx x1 a13 xx2A a23;其中，只含平方项的二次型，称为二次型的标准形x 3 33化二次型为标准形，也就是“A”①若存在可逆矩阵C，使得C1ACBAB相似注：若存在非零向量i，使得Aiii，则称i为矩阵A的特征值，i为i对应的特征 【练习】若A

2，求A的特征值i与对应的特征向量i131 131 f(xxxxTAxPy)TA(PyyTPTAPyyT 【总结】正交变换2°求出A的