2022-2023学年四川省成都市成都市树德中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市成都市树德中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.【详解】，，故选：A2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用作差法可判断CD选项.【详解】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A错；对于B选项，由不等式的基本性质可得，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，则，D对.故选：D.3．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式．已知函数由下表给出，则的值为（

）123A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意先求出，然后代入再根据表格求值即可.【详解】∵，∴，，则，故选：D.4．设m，n为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，故选：A.5．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.【详解】因为命题“”是假命题，所以是真命题，又可化为，即，当时，，所以在上恒成立，所以其中,，当时有最小值为，此时有最大值为，所以，故实数的取值范围是故选：C6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．【详解】解：，，函数是周期为的周期函数，又当时，，所以，，，，故选：B．7．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据给定的不等式确定的单调性,再保证分段函数的每一段递减和交界处递减即可.【详解】不等式恒成立，即，即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得，同时在在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或，所以．故选：C.8．已知函数，且，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设（），即，结合条件得到：，再由的奇偶性和单调性得到：，即可求解.【详解】由题意得，函数，设（），则，由，得，又因为，所以是上的奇函数，即，又有，因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数；则，即，整理得：，解得：或，所以实数a的取值范围为，故选：B.二、多选题9．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（

）A．的最大值为1 B．在区间上单调递减C．的解集为 D．当时，【答案】ABC【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时所以当时，，故D错误；当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.故选：ABC.10．已知函数，则下列选项正确的是（

）A．的值域是 B．在定义域上单调递减C． D．【答案】AD【分析】根据函数的单调性和对称性分析即可.【详解】因为，函数的值域为，A正确，函数的定义域为，故在和上是减函数，B错误；又因为，所以函数关于点成中心对称，故，，D正确，C错误；故选：AD.11．设正实数x，y，满足，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为4【答案】ACD【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.【详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.故选：ACD.12．已知符号函数，下列选项正确的是（

）A．方程的解集为B．C．关于的不等式的解集为D．函数的值域为【答案】BC【分析】对分类讨论，确定，根据题意，依次分析求解各选项，即可得答案．【详解】对于A，当时，方程化为，解得；当时，方程化为，解得；当时，方程化为，解得．综上，方程的解集为，故A错误；对于B，当时，，，则；当时，，则；当时，，，则，综上可知，B正确；对于C，，当即时，不等式可化为，即，解得；当即时，不等式可化为，不成立；当即时，不等式可化为，即，解得；综合可得，不等式的解集为，故C正确；对于D，，当时，；当时，；当时，，综合可得：函数的值域为，故D错误，故选：BC．三、填空题13．________．【答案】【分析】直接利用有理数指数幂的运算法则和对数运算法则化简求解即可．【详解】.故答案为：-314．幂函数在上单调递增，则的图像过定点__________．【答案】【分析】先根据幂函数的定义和性质求出m的值，再结合即可求出函数过定点的坐标．【详解】由幂函数在上单调递增，所以，解得，所以，故令得，所以，所以的图像过定点.故答案为：15．已知函数（）的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．【答案】4【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，再根据不等式的解集得方程的两个根为和，利用根与系数的关系即可求出c的值．【详解】∵函数（a，）的值域为，∴有两个相等的实数根，则，得．由题意可知方程的两个根为，，由韦达定理可得：，，所以，解得．故答案为：416．已知实数满足，，则___________.【答案】##10000【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.【详解】因为，所以是方程的根；又因为，所以是方程的根；又因为与互为反函数，其图像关于对称，且直线与的交点的横坐标为，因为直线与垂直，所以，又因为，所以.故答案为：.四、解答题17．已知，．（1）当时，求；（2）当时，若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解不等式求得集合，由并集定义可求得结果；（2）由并集结果可确定，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）由得：，则；当时，由得：，则；；（2）若，则，当时，，又，则，解得：，实数的取值范围为.18．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．(1)求函数的解析式；(2)若，，求的最小值；【答案】(1)(2)【分析】（1）首先得到对称轴为，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）首先求出，，然后分，和三类讨论即可.【详解】（1）由得，对称轴为，设，∴，得，∴．（2），，对称轴，①当即时，在单调递增，，②即时，在单调递减，在单调递增，∴，③当即时，在单调递减，，综上：.19．已知函数为奇函数(1)求实数的值及函数的值域；(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，值域为(2)【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，则，所以，经检验知符合题意；因为，则所以函数的值域为.（2）由题知：当恒成立；则；令，所以；又，当且仅当时等号成立，而，所以，则.20．2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳.(1)试求的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由.【答案】(1)(2)教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．【详解】（1）当，时，设，将点代入得，当，时，；当，时，将点代入，得，所以；（2）当，时，，解得，所以，，当，时，，解得，所以，，综上，时学生听课效果最佳，此时，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．21．若函数对任意的均有，则称函数具有性质．(1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由；(2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质；【答案】(1)函数①具有性质，②不具有性质P；理由见解析(2)函数具有性质；证明见解析【分析】（1）利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质；（2）分别讨论x为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断；【详解】（1）①令，则，因为，所以（当且仅当时取等号，由于，故等号取不到），且所以，所以，即函数①具有性质．②不具有性质P，令如当时，，不满足题意，故函数②不具有性质P．（2）当x为有理数时，具有性质P，理由如下：因为x为有理数时，所以，也为有理数，所以，故具有性质P；当x为无理数时，具有性质P，理由如下：因为x为无理数时，所以，也为无理数，，故具有性质P；综上：函数具有性质．22．已知函数，.(1)若，求函数在的值域；(2)若，求证.求的值；(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；（2