10023实变函数与泛函分析初步2004年10月试卷

10023＃实变函数与泛函分析初步试题第4页共4页浙江省2004年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023本试卷分A、B卷，使用1983年版本教材的考生请做A卷，使用2003年版本教材的考生请做B卷；若A、B两卷都做的，以B卷记分。A卷一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题4分，共28分)1.E是代数数全体，则＝（）.A.n B.C. D.2.有限个可数集的并集是（）.A.有限集 B.可数集C.不可数集 D.无法确定3.可数个闭集的并集是（）.A.开集 B.闭集C.集 D.集4.设E是R中有理数全体，则mE（）.A.0 B.1C.＋∞ D.-∞5.设f(x)是R1上的可微函数，则导函数f′(x)是（）.A.连续函数 B.绝对连续函数C.可测函数 D.无法判定6.关于Cantor集P，下述哪个说法不成立？（）A.P无内点 B.P中的点都为孤立点C.P中的点都为聚点 D.P是闭集7.设f(x)是E上的可测函数，则f(x)是（）.A.Lebesgue可积函数B.mE［|f|=∞］=0C.存在连续函数列{fn(x)}使fn(x)f(x)D.存在连续函数列{fn(x)}使fn(x)→f(x)a.e.无法判定二、填空题(每小题4分，共40分)1.簇｛Aα|α∈Γ｝的并Aα=_________________.2.设A2n=(-1+,1+),A2n+1=(-n,n),则An＝_________________.3.设A,BR,则具有关系_________________∩.4.设f(x)是［0,1］上的Riemann可积函数，E是f(x)的连续点全体，则mE=_________________.5.可测集与开集有如下关系：开集是可测集，反之_________________.6.设D(x)=，则D(x)在处的振幅为_________________.7.设A＝,B=,则当xA时(A×B)x=_________________.8.设f(x)=|x|,-1≤x≤1,则=_________________.9.设f(x),g(x)是E上的可测函数，则是_________________.10.设2A表示A的所有子集全体，则_________________.三、完成下列各题(每小题8分，共32分)1.设的任意邻域内至少含有一个属于E而异于的点，证明是E的聚点.2.设E是R中的全体有理数，试用外测度的定义证明E的外测度为零.3.设{fn(x)}与{gn(x)}是E上几乎处处有限的可测函数列,fn(x)f(x)于E,gn(x)g(x)于E,则fn(x)+gn(x)f(x)+g(x)于E.4.试求.B卷一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题4分，共12分)1.设f(x)在E上有定义，D与D′是E的两个可测分划，D′是D的加细，S(D′,f)与S(D,f)分别表示f(x)在E上的两个Darboux大和，则有（）.A.S(D′,f)≤S(D,f) B.S(D′,f)=S(D,f)C.S(D′,f)≥S(D,f) D.不能确定2.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q′是（）.A.Q B.φC.R D.R\Q.3.设{}是一列闭集，F=，则F一定是（）.A.开集 B.闭集C.开集，也是闭集 D.不能确定二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”。每小题2分，共12分)1.无限集合的不同基数有无穷多个.（）2.闭集E的聚点一定属于E.（）3.Cantor三分集P中点全是界点.（）4.直线上开集一定是有限个或可数个互不相交的构成区间的和集.（）5.Rn中全体可测集构成的集合类U是一个σ代数.（）6.设f(x)在E上R可积，则|f(x)|在E上R可积.（）三、填空题(每小题4分，共40分)1.设是一列单调下降的集合,则An=_________________.2.A∪()=_________________.3.设E={(x,y)|+<1},则在中E′=_________________.4.设{}是一列单调下降的可测集,m<∞,S=,则mS=_________________.5.设{f(x)}是E上一列可测函数,=min{f1(x),f2(x),…,fn(x)},则=__________.6.设f(x)在E上Lebesgue可积,则mE［|f|=∞］=_________________.7.设f(x)是［a,b］上有界变差函数,E={x∈［a,b］|f′(x)不存在},则mE=_________________.8.设AB,则关于截面的大小有关系:Ax_________________Bx.9.设f(x)是［a,b］上单调递增函数,则___________f(b)-f(a).10.设f(x)在可测集E上可测，则对任意自然数n,［f>n］=_________________.四、完成下列各题（每小题9分，共36分）1.证明：Cantor三