数值分析应用

计

算

方

法数值分析NumericalAnalysis潘建瑜华东师范大学数学系科学计算科学计算ScientificComputing

(计算科学ComputationalScience)使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算方法来求解，因此即为数值计算/数值分析/计算方法科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油探勘、航天工程、密码解译等）中不可缺少的工具计算数学是科学计算的核心与基础科学计算已成为当今科学研究的重要手段之一，是数学将触角伸向其他学科的桥梁。科学计算随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济学等科学计算使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能

科学计算利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：实际问题数学模型数值方法程序设计上机实现应用举例问：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

——《九章算术》例：一个古老的数学问题应用举例线性方程组数值求解——教材第五、六章应用举例例：人口预测表格中是我国1950年到2005年的人口数（见中国统计年鉴），试预测未来的人口数插值与曲线拟合——教材第二、三章年份人口(万)1950551961955614651960662071965725381970829921975924201980987051985105851199011433199512112120001267432005130756应用举例例：铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压制而成。假若要求波纹瓦长4英尺，每个波纹的高度(从中心线)为1英寸，且每个波纹以近似2

英寸为一个周期。求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L。应用举例这个问题就是要求由函数

f(x)=sinx给定的曲线从x=0

到x=48

英寸间的弧长L，即:数值积分与数值微分——教材第四章上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算应用举例矩阵特征值计算——教材第八章例：Google

搜索引擎1998年创立，目前市值近2000亿G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”——SIAMReview，2006Gx

=x,eTx

=1计算方法的任务计算方法/数值分析的任务设计求解各种实际问题的高效可靠的数值方法有效：易于在计算机上实现

可靠：收敛性稳定性等有理论保证高效：尽可能地节省计算时间和存储空间对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相差百万倍或者更多！

对求得的数值解的精度进行评估研究数值算法在计算机上的实现计算方法例：求解一个n

阶线性方程组，如果使用Cramer法则，需要计算n+1个n

阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要n!(n2-1)

次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约2n3/3

次乘除运算用每秒运算30亿次（主频3.0G）的计算机求解时，大约需要10000年的时间当n=20时，如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成数值方法特点数值方法的特点

方法是近似的，所以求出的解是有误差的与计算机紧密结合：上机实现掌握一门语言：C语言或Fortran语言熟悉一种数学软件：Matlab，Maple，MathCAD或Mathematica。课程信息数值分析（第五版）

教材：李庆扬等编著，清华大学出版社，2008

上课时间：周二3、4，周四5、6(双周)

参考资料

第三种科学方法：计算机时代的科学计算

石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000

科学计算导论（第2版）（英文影印版）

M.T.Heath著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001

现代科学计算

蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000

数值线性代数

徐树方等，北京大学出版社，2000

参考资料主要内容插值法函数逼近数值积分和数值微分线性方程组的直接解法和迭代解法非线性方程（组）的数值求解矩阵特征值与特征向量的计算

常微分方程的数值解法所需知识微积分高等代数、线性代数常微分方程推荐：Matlab

编程所需知识考试方式期末80%

平时20%（平时作业，考勤）基本概念

解析解、精确解、真解、真值数值解、近似解数值算法：求问题的数值解的方法算法的可靠性包括：收敛性，稳定性，误差估计等算法的评价（优劣）时间复杂度（计算机运行时间）空间复杂度（所占用的计算机存储空间）逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）数学软件由于各种科学计算问题最后通常都归结为求解一些基本的问题，针对这些基本问题