抽样检验之正交试验设计

正交试验设计一、试验设计的基本概念与正交表多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有210=1024、如果每个因素取三个不同状态310=59049个不同的试验条件在多因素试验中，有人采用“单因素轮换法”，但是这种方法不一定能找到好的条件譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好的条件是A2B2。 B1B2B3 A1505662 A2567060 A3546058因子与水平试验中要加以考察而改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C…等表示。因子在试验中所取的状态称为水平。因子A的水平用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…Ak.。在一次试验中每个因子总取一个特定的水平，称各因子水平的一个组合为一个处理或一个试验条件。试验指标与试验结果衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也 可以是产量特性或其它）称为指标，用y表示。由于y是一个随机变量，因此可以假定它有如下的结构式：y=μ+ε

其中μ是一个依赖于试验条件的常量，随试验条件的变化而改变，ε是一个随机变量，常假定它服从正态分布N（0,σ2）。正交表选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的：发现那些因子对试验结果确有影响，因子的什么水平组合是最好的。利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计。“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。

正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：（1）每列中不同的数字重复次数相同。在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3，每一个出现3次。（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。（1））一一类类正正交交表表的的行行数数n，，列数数p，，水平平数数qn=qk,k=2,3,4,……,p=(n-1)/(q-1)如：：L4(23)，，L8(27)，，L16(215)，，L32(231)等这这类类正正交交表表可可以以考考察察因因子子间间交交互互作作用用（2））另另一一类类正正交交表表的的行行数数，，列列数数，，水水平平数数之之间间不不满满足足上上述述的的两两个个关关系系如：：L12(211)，，L18(37)，，L36(313)等常用用的的正正交交表表有有两两大大类类二、、无无交交互互作作用用的的正正交交设设计计与与数数据据分分析析试验验设设计计一一般般有有四四个个步步骤骤：：1.试试验验设设计计2.进进行行试试验验获获得得试试验验结结果果3.数数据据分分析析4.验验证证试试验验例1磁磁鼓鼓电电机机是是彩彩色色录录像像机机磁磁鼓鼓组组件件的的关关键键部部件件之之一一，，按按质质量量要要求求其其输输出出力力矩矩应应大大于于210g.cm。。某生生产产厂厂过过去去这这项项指指标标的的合合格格率率较较低低，，从从而而希希望望通通过过试试验验找找出出好好的的条条件件，，以以提提高高磁磁鼓鼓电电机机的的输输出出力力矩矩。。（一一））试试验验的的设设计计在安安排排试试验验时时，，一一般般应应考考虑虑如如下下几几步步：：（1））明明确确试试验验目目的的；；（2））明明确确试试验验指指标标；；（3））确确定定因因子子与与水水平平；；（4））选选用用合合适适的的正正交交表表，，进进行行表表头头设设计计，，列列出出试试验验计计划划。。在本本例例中中：：试验验目目的的：：提提高高磁磁鼓鼓电电机机的的输输出出力力矩矩试验验指指标标：：输输出出力力矩矩确定定因因子子与与水水平平：：选表表：：首首先先根根据据因因子子的的水水平平数数，，找找出出一一类类正正交交表表，，再再根根据据因因子子的的个个数数确确定定具具体体的的表表，，把把因因子子放放到到表表的的列列上上去去，，称称为为表表头头设设计计。。把放放因因子子的的列列中中的的数数字字改改为为因因子子的的真真实实水水平平，，便便成成为为一一张张试试验验计计划划表表，，每每一一行行便便是是一一个个试试验验条条件件。。在正正交交设设计计中中n个试试验验条条件件是是一一起起给给出出的的的的，，称称为为““整整体体设设计计””，，并并且且均均匀匀分分布布在在试试验验空空间间中中。。9个个试试验验点点的的分分布布C3C2C1A1A2A3B1B2B3123456789（二二））做做试试验验，，并并记记录录试试验验结结果果在进进行行试试验验时时，，要要注注意意几几点点：：1.除除了了所所考考察察的的因因子子外外的的其其它它条条件件，，尽尽可可能能保保持持相相同同2.试试验验次次序序最最好好要要随随机机化化3.必必要要时时可可以以设设置置区区组组因因子子（三三））数数据据分分析析1.数数据据的的直直观观分分析析（1））寻寻找找最最好好的的试试验验条条件件在A1水平平下下进进行行了了三三次次试试验验：：#1，，#2，，#3，，而而在在这这三三次次试试验验中中因因子子B的三三个个水水平平各各进进行行了了一一次次试试验验，，因因子子C的三三个个水水平平也也各各进进行行了了一一次次试试验验。。在A2水平平下下进进行行了了三三次次试试验验：：#4，，#5，，#6，，在在这这三三次次试试验验中中因因子子B与C的三三个个水水平平各各进进行行了了一一次次试试验验。。在A3水平平下下进进行行了了三三次次试试验验：：#7，，#8，，#9，，在在这这三三次次试试验验中中因因子子B与C的三三个个水水平平各各进进行行了了一一次次试试验验。。将全全部部试试验验分分成成三三个个组组，，那那么么这这这这三三组组数数据据间间的的差差异异就就反反映映了了因因子子A的三三个个水水平平的的差差异异，，为为此此计计算算各各组组数数据据的的和和与与平平均均：：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555,T2=y4+y5+y6=168+236+190=594,T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,同理对因子子B与C将数据据分成成三组组分别别比较较所有计计算列列在下下面的的计算算表中中（2））各因因子对对指标标影响响程度度大小小的分分析极差的的大小小反映映了因因子水水平改改变时时对试试验结结果的的影响响大小小。这这里因因子的的极差差是指指各水水平平平均值值的最最大值值与最最小值值之差差，譬譬如对对因子子A来讲：：RA=198－－167.3=30.7其它的的结果果也列列在上上表中中（3））各因因子不不同水水平对对指标标的影影响图图900110013001011

12708090160170180190200210220输出力矩RARBRCA:充磁量B:定位角度C:定子线圈匝数因子各各水平平对输输出力力矩的的影响响由于正正交表表的特特点，，使试试验条条件均均匀分分布在在试验验空间间中，，因此此使数数据间间具有有整齐齐可比比性，，上述述的直直观分分析可可以进进行。。但是是极差差大到到什么么程度度可以以认为为水平平的差差异确确实是是有影影响的的呢？？2.数数据据的方方差分分析要把引引起数数据波波动的的原因因进行行分解解，数数据的的波动动可以以用偏偏差平平方和和来表表示。正交表表中第第j列的偏偏差平平方和和的计计算公公式：其中Tij为第j列第i水平的的数据据和，，T为数据据总和和，n为正交交表的的行数数，q为该列列的水水平数数。该该列表表头是是哪个个因子子，则则该Sj即为该该因子子的偏偏差平平方和和，譬譬如SA=S1正交表表总的的偏差差平方方和为为：在这里里有：：表4.6例例4.1的方方差分分析表表3.最佳条条件的的选择择对显著著因子子应该该取最最好的的水平平对不显显著因因子的的水平平可以以任意意选取取，在在实际际中通通常从从降低低成本本、操操作方方便等等角度度加以以选择择。上面的的例子子中对对因子子A与B应该选选择A2B2，因子C可以任任选，，譬如如为节节约材材料可可选择择C1（四）验证证试验对A2B2C1进行三次试试验，结果果为：234，240，220，平平均值为231.3此结果是是满意的。。交互作用一个因子的的水平好坏坏或好坏的的程度受另另一因子水水平制约的的情况，称称为因子A与B的交互作用用。其直观表示示如下面的的图(b)与(c)所示。三、有交互互作用的正正交设计与与数据分析析两个因子的的不同水平平搭配下的的得率60708090得率B1A1A2A1A2A1A2B2B1B1B2B2(a)(b)(c)（1）试验验的设计明确试验目目的；明确试验指指标；确定试验中中所考虑的的因子与水水平，并确确定可能存存在并要考考察的交互互作用；选用合适的的正交表，，进行表头头设计，列列出试验计计划。例2为为提高某种种农药的收收率，需要要进行试验验。试验目的：：提高农药药的收率试验指标：：收率确定因子与与水平以及及所要考察察的交互作作用：还要考察因因子A与B的交互作用用选表：首先先根据因子子的水平数数，找出一一类正交表表再根据因子子的个数及及交互作用用个数确定定具体的表表。把因子放到到表的列上上去，但是是要先放有有交互作用用的两个因因子，并利利用交互作作用表，标标出交互作作用所在列列，以便于于今后的数数据分析。。把放因子的的列中的数数字改为因因子的真实实水平，便便成为一张张试验计划划表表4.9L8（27）的交互作用用表表4.10试试验计划划（二）数据据分析1.数据据的方差分分析在二水平正正交表中一一列的偏差差平方和有有一个简单的的计算公式式：其中T1j、T2j分别是第j列一水平与与二水平数数据的和，，n是正交表的的行数。表4.11例例4.3的计算表表表4.12例例4.3的方差分分析表表4.13A×B的搭配表（三）避免免混杂现象象——表头头设计的一一个原则在进行表头头设计时一一列上只能能放一个因因子或放一一个交互作作用。若在一列上上有两个因因子或两个个交互作用用或一个因因子一个交交互作用称称为混杂,混杂应该该避免,否否则数据分分析要产生生问题。在用正交表表安排试验验时要求：：因子与所在在列的自由由度相等交互作用与与所占列的的自由度的的和相等所以二水平平因子应该该用二水平平正交表，，三水平因因子应该用用三水平正正交表。二水平因子子的交互作作用的自由由度为1，，所以在二二水平正交交表上占一一列。三水平因子子的交互作作用的自由由度为4，，所以在三三水平正交交表上占两两列。选择正交表表时必须满满足下面一一个条件：：“所考察察的因子与与交互作用用自由度之之和≤n－1”，，其中n是正交表的的行数。不过在存在在交互作用用的场合，，这一条件件满足时还还不一定能能用来安排排试验，所所以这是一一个必要条条件。例3给给出下列试试验的表头头设计：（1）A、B、C、D为二水平因因子，同时时考察交互互作用A×B，A×C（2）A、、B、C、、D为二水平因因子，同时时考察交互互作用A×B，C×D（3）A、、B、C、、D、E为三水平因因子，同时时考察交互互作用A×B它们分别要要用L8（27），L16（215），L27（313）解（1））由于因子子均为二水水平的，故故选用二水水平正交表表，又因子子与交互作作用的自由由度之和为为：fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6故所选正交交表的行数数应满足：：n≥6+1=7，所以选L8(27)，表头设计如如下：（2）由于于因子均为为二水平的的，故仍选选用二水平平正交表，，又因子与与交互作用用的自由度度之和为6，故所选选正交表的的行数应满满足：n≥6+1=7，但L8(27)无法安排这这四个因子子与两个交交互作用，，因为不管管四个因子子放在哪四四列上，两两个交互作作用或一个个因子与一一个交互作作用总会共共用一列，，从而产生生混杂，譬譬如：因此选用L16(215)，表头设计如如下：（3）由于于因子均为为三水平的的，故选用用三水平正正交表，又又因子与交交互作用的的自由度之之和为：fA+fB+fC+fD+fE+fA×B=2+2+2+2+2+4=14故所选正