椭圆的基本性质

关于椭圆的基本性质第一页，共十三页，2022年，8月28日分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO第二页，共十三页，2022年，8月28日1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a，

a叫做椭圆的长半轴长线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b，

b叫做椭圆的短半轴长O

xF1

F2

A2B1

B2

yA1(-a,0)

(a,0)

(0,b)

(0,-b)

为椭圆的焦距,为椭圆的半焦距第三页，共十三页，2022年，8月28日O

xF1

A2B1

B2

yA1(-a,0)

(a,0)

(0,b)

(0,-b)

a、b、c的几何意义a

cbF2

第四页，共十三页，2022年，8月28日

-a≤x≤a,-b≤y≤b

知

椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab2、范围：第五页，共十三页，2022年，8月28日3、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称,

原点是椭圆的中心.从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。第六页，共十三页，2022年，8月28日123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

第七页，共十三页，2022年，8月28日4、椭圆的离心率

(刻画椭圆扁平程度的量)椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：0<e<1[3]e与a,b的关系:思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是什么？1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆圆线段第八页，共十三页，2022年，8月28日方程图形范围对称性顶点离心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2两种标准方程的椭圆性质的比较关于x轴、y轴、原点对称A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)第九页，共十三页，2022年，8月28日例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心率，焦点和顶点坐标。解：把已知方程化为标准方程椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、

B1(0,－4)、B2(0,4)离心率焦点F1(－3,0)和F2(3,0),因此长轴长，短轴长第十页，共十三页，2022年，8月28日例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。

（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为

⑵或第十一页，共十三页，2022年，8月28日例