1.2事件的概率及其性质

1.2事件的概率及其性质1.2.1频率与概率的统计定义频率

frequency

定义1.2.1在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA

称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).

频率的性质:正面次数m（m为频数）抛掷次数

n 频率（m/n

）106120480.5181204840400.50696019120000.501612012240000.500514984300000.499636124720880.5011抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。大量的实践表明，在重复试验中，事件A发生的频率

fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随着重复试验次数

n

的增加，频率的摆动幅度越来越小.观测到的大偏差越来越稀少，呈现出一定的稳定性.频率的稳定性雅各布·伯努利（JakobBernoulli‎，1654年12月27日－1705年8月16日）数学家。被公认的概率论的先驱之一。较早阐明随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。概率的统计定义

定义1.2.2在一定条件下，重复做n次试验，k为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率k/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。

1.2.2古典概型古典试验（1）有限性（2）等可能性试验只有有限个基本结果

试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

如果一个试验满足两条：

这样的试验，成为古典试验。概率的古典定义定义1.2.3对于古典试验E中的事件A,它的样本空间为Ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝，它的概率定义为：

事件发生的可能性概率必然事件Ω不可能事件Φ不确定事件AP(Ω)=1;P(Φ)=0100%0大于0而小于1排列组合原理1）加法原理：2）乘法原理完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有n×m种方法。排列公式(1)有重复排列在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列其总数为（2）选排列在无放回选取中，从

n

个不同元素中取r个元素进行排列，称为选排列其总数为

3）组合：

从

n

个不同元素中取r个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为组合公式古典概率的常用的几种类型：

1抽球问题

2分球入盒问题

3分组问题

4随机取数问题等讲讲练练例1:(抽球问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，

不放回地摸n次。 设Ak={第k次摸到红球}，k＝1,2,…,n．求P(Ak)

解：---结果与k无关例2（分球入盒）将

n只不同的球随机的放入N(Nn)

个有编号的盒子中去，设每盒容球个数不限,求下列个事件的概率：

（1）A=“指定的n个盒子中各有一只球”P(A)=?（2）B=“每个盒子至多有一只球”P(B)=？（3）C=“指定的一个盒子中恰有k只球”P(C)=?例3：（分组问题）

30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。设：A=“每组有一名运动员”

B=“3名运动员集中在一个组”例4

同时掷5颗骰子，试求下列事件的概率：

A={5颗骰子不同点}；

B={5颗骰子恰有2颗同点}；

C={5颗骰子中有2颗同点，另外3颗同是另一个点数}．解：

例5

设有

N

件产品，其中有

M

件次品，今从中任取

n件，问其中恰有

k

(kD)

件次品的概率是多少?次品正品抽样概率不放回有放回练习从正整数1、2、…、N中有放回地抽取n个数，求抽到的最大数恰好是k的概率“所取数的最大者k”=“所取数不大于k-1”“所取数不大于k”把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.

由此形成了确定概率的另一方法

——几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.概率的古典定义的局限性几何概型问题2.某人发现他的表停了,他打开收音机,想听电台报时,试求它等待的时间不超过10分钟的概率.

问题1.如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？1.2.3几何概率向任一可度量区域Ω内投一点，如果所投的点落在Ω

中任意可度量区域A内任意一点是等可能的，与A的度量成正比，而与A的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验，或简称为几何概型.定义1.2.4（几何概型）几何概率的计算AΩΩA两人会面的充要条件为甲、乙两人相约在8：00

到8：30

这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间10分钟后离去.设每人在8：00--8：30

这段时间内各时刻到达该地是等可能的

,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.例会面问题故所求的概率为课堂练习1

在区间（0,1）中任取两数，则事件“两数之积大于

”的概率为？解：设A=“两数之积大于

”,

则

xyA课堂练习2在区间（0,1）中任取两数分别为x,y.1.2.4概率的公理化定义概率论的公理化

1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.柯尔莫哥洛夫

(1903~1987)主观派客观派测度论概率论公理化的三种学派1921年凯恩斯(J.M.Keynes)1928年冯.米泽斯(vonMises)1933年柯尔莫哥洛夫目前,绝大多数教科书都是采用柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系.

定义1.2.5（概率的公理化定义）AB性质1.2.1性质1.2.2（有限可加性）性质1.2.3（减法公式和概率的单调性）概率的性质性质1.2.4性质1.2.5（对立事件的概率）性质1.2.6（加法公式）概率的性质证明证明性质1.2.5（对立事件的概率）由图可得ABAB

三个事件和的情况=A(B-AB)[C-(AC-ABC)-(BC-ABC)-ABC]由减法公式ABC边讲边练填空：设事件A,B都出现的概率与A,B都不出现的概率相等，且P(A)=p,则P(B)=.情况P(B-A)1A与B互不相容2AB3P(AB)=1/8ABAB例2

（生日问题）

有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.解：令A={至少有两人同生日}

={r个人的生日都不同}则人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444

220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994 美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日用上面的公式可以计算此事出现的概率为0.476这是我们意想不到的结果！例3

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”解则所求概率为方法2：方法3：先从5双中任取一双，再在其余的8只中任取2只：设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为，击伤的概率为