大学概率论随机事件与概率课件

随机事件与概率随机事件及其运算随机事件的概率条件概率与事件的独立性第一章随机事件与概率随机事件及其运算随机事件的概率条件概率与事件的确定性现象与不确定性现象随机现象的统计规律性不确定性现象:(随机现象)确定性现象:

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数.

随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现的结果的规律性.前言确定性现象与不确定性现象随机现象的统计规律性不确定性现象:(概率论是一门研究客观世界随机现象统计规律的

数学分支学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的

数学分支学科.的数学分支学科，并无从属关系.学是概率论的一种应用.

但是它们是两个并列概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是一门研究客观世界随机现象统计规律的数学分支学科.数本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如

1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》

来描述;7.研究化学反应的时变率，要以《马尔序列分析》方法非常有用;4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性估计》;

3.

寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；5.处理通信问题,需要研究《信息论》；6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》来描述;水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是

《排队论》.领域的趋势还在不断发展.在社会科学领领域,特别是经济学中研究最优决策和经水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.

“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,

那么我们就寸步难行,无所作为.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.“概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高

等学校各专业都开设了该课程，而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一.概率统计的思想：看待万事万物的一

种方法。通过比较概率的大小做决定——统计规律、统计决策。概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了该课

第一章随机事件及其运算第一节一、基本概念二、事件之间的关系三、事件之间的运算四、事件的运算律第一章随机事件及其运算第一节一、基本概念二、事件之间的关1.加法原理:2.乘法原理:如果完成某件事有m种途径,而每种途径有种不同的方法,那么完成该件事共种不同的方法.有如果完成某件事须经过m个步骤,而完成每个步骤分别有种不同的方法,那么完成该件事共有种不同的方法.3.重复排列:从n个不同的元素中任意取出r个元素(1≤r≤n),按照一定顺序允许重复出现排成一列,称为从n个元素取出r个元素的重复排列,排列总数为预备知识1.加法原理:2.乘法原理:如果完成某件事有m种途径,而每4.选排列:预备知识从n个不同的元素中任取出r个(1≤r≤n)元素按照一定顺序不重复地排成一列,称为从n个元素中取出r个元素的选排列,记为且有5.全排列:r=n的选排列称为全排列,记为且有6.组合:从n个不同的元素中任意取出r个(0≤r≤n)元素组成一组(不考虑次序),称为从n个元素中取出r个元素的一个组合,记为且有4.选排列:预备知识从n个不同的元素中任取出r个(11.随机试验:(E)①可在相同条件下重复进行②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个③每一次试验的结果是不可预言的由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.其每个元素称为样本点.2.样本空间:对随机现象进行观察或试验.一、基本概念1.随机试验:(E)①可在相同条件下重复进行②试验的所有可能E1:将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;E2:掷一颗均匀骰子,考虑可能出现的点数;记录某网站一分钟内受到的点击次数;E3:例1.记录他的身高(m)和体重(kg).E4:任选一人,(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)写出下列试验的样本空间.E1:将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;E2:掷一颗注:①样本空间是一个集合;②对于一个随机试验而言,样本空间并不唯一.例如:掷两枚均匀的骰子一次,若试验目的是观察出现的点数和:若实验的目的是观察所有可能出现的结果:注:①样本空间是一个集合;②对于一个随机试验而言,样本空间并4.事件的发生:

5.必然事件与不可能事件:事件

集合3.随机事件：样本空间Ω的某个子集.例如:在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点基本事件：复合事件：由一个样本点构成的集合由多个样本点构成的集合发生所包含的某一个样本点出现4.事件的发生:5.必然事件与不可能事件:事件集二、事件之间的关系2.事件的相等:1.事件的包含:3.事件的互斥:(互不相容)A与B不能同时发生,注:①基本事件之间是互斥的;②与任何事件互斥.A

发生必然导致B发生,与B互斥.即若有则称A则称A包含于B.二、事件之间的关系2.事件的相等:1.事件的包含:3.事件的三、事件的运算1.和:(并)或2.积:(交)且注:和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.A,B中至少有一个发生的事件.A

,B同时发生的事件.三、事件的运算1.和:(并)或2.积:(交)且注:和、积运算4.逆:(对立事件)称A与B互逆.注:①事件互斥与互逆的区别②且注:③①3.差:A发生而B不发生的事件,②若A,B互斥,若A与B满足,且则称为A与B的差.4.逆:(对立事件)称A与B互逆.注:①事件互斥与互逆的区四、事件的运算律3.对偶律：①（积的逆＝逆的和）②（和的逆＝逆的积）2.分配律：①②1.交换律、结合律:(略)四、事件的运算律3.对偶律：①（积的逆＝逆的和）②（和的逆＝例2.用A、B、C的运算关系表示下列各事件:①三个事件中至少一个发生:

②没有一个事件发生:（由对偶律）③恰有一个事件发生:④至多有两个事件发生:（考虑其对立事件）⑤至少有两个事件发生:不能从字面上理解事件的对立.注:例2.用A、B、C的运算关系表示下列各事件:①三个事件中至

第一章随机事件的概率第二节一、概率的统计定义二、古典概率三、几何概率四、概率的性质第一章随机事件的概率第二节一、概率的统计定义二、古典概率引言概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P(A)来表示事件A发生的可能性大小.引言概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P一、概率的统计定义1.频率:定义1:在相同的条件下重复进行了N次试验,若A发生了次,则称为A在N次试验中出现的频率.独立重复地做N次试验,2.概率的统计定义:定义2:发生的频率稳定地在某一数值p附近摆动,生的概率.当N很大时,若事件A则称p为A发注:概率是确定的,而频率与试验次数有关.高尔顿板一、概率的统计定义1.频率:定义1:在相同的条件下重复进行二、古典概率①有限性②等可能性1.古典型随机试验:2.古典概率的定义：若事件中含有个样本点,则称为发生的概率,定义3:设古典型试验的样本空间为记为中的样本点个数中的样本点个数二、古典概率①有限性②等可能性1.古典型随机试验:2.古典概例1.从编号为的10个同样的球中任取一个,解:由题意知,问题归结为古典概率的计算,Ω包含的样本点个数:A包含的样本点个数:则B包含的样本点个数:则B={抽到奇数号球}的概率.A={抽到2号球}，求例1.从编号为的10个同样的球中任取一个,解:由题意知,问例2.掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.解:Ω包含的样本点个数:设A={出现点数和为8},则A包含的样本点个数:思考:能否取为什么?(不能，因为基本事件不是等可能的)例2.掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.解:Ω解:⑴设A={恰有一双配对},则或求：⑵至少有一双配对的概率.例3.(2)设B={至少有两只鞋子配成一双},则⑴其中恰有一双配对的概率；从6双不同的鞋子中任取4只，解:⑴设A={恰有一双配对},则或求：⑵至少有一双配对不能，因为取到两双部分重复了一次，某一次取法：第3双，第4双另一次取法：第4双，第3双B包含的样本点个数应为思考:B包含的样本点个数能否为为什么?比如：2.古典概率的性质:⑴非负性：对任意A，⑵规范性：⑶可加性：若A和B互斥，⑷⑸则重复！不能，因为取到两双部分重复了一次，某一次取法：第3双，第4双三、几何概率①无限性②等可能性1.几何型随机试验:2.几何概率的定义：在几何型随机试验中,的测度(长度,面积,体积)的测度(长度,面积,体积)定义事件A发生的概率为三、几何概率①无限性②等可能性1.几何型随机试验:2.几何概例4.如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,若在海域里随意选取一点钻探,解:由题意知,设A={钻到石油},则问钻到石油的概率是多少？问题归结为几何概率的计算,例4.如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的则会面的充要条件这是一几何概率问题,(7点设为零时刻),所求概率点为图中阴影部分,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,例5.（会面问题）两人相约7点到8点在先到者等候另一人20分钟后就试求这两人能会面的概率？解:以分别表示两人到达时刻能会面的为,可离去，某地会面，则会面的充要条件这是一几何概率问题,(7点设为零时刻),所求四、概率的性质(1)有限可加性：是

n个两两互不相容的事件，设即则有(3)单调性：(2)事件差：A,B是两个事件,则;若事件,;;则四、概率的性质(1)有限可加性：是n个两两互不相容的事件(4)加法公式：对任意两事件有该公式可推广到任意n个事件的情形.(5)互补性：(6)可分性：对任意两事件有注:;(4)加法公式：对任意两事件有该公式可推广到任意n个事件的情故例6.(1)取到的数能被2或3整除的概率;(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率;(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率.B={能被3整除},解:设A={取到的数能被2整除},则求在110这10个自然数中任取一数,故例6.(1)取到的数能被2或3整除的概率;(2)取到的数即例7.个数字之积能被10整除的概率?从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,求这n解:设A={取出的这n个数字中含有数字5},B={取出的这n个数字中含有偶数字},则例7.个数字之积能被10整除的概率?从1-9九个数字中有放回

第一章条件概率与事件的独立性第三节一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式及贝叶斯公式四、事件的相互独立性第一章条件概率与事件的独立性第三节一、条件概率二、乘法公某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?则A:“家中至少有一个女孩”,B:“家中至少有一个男孩”从而引言已知某家庭中有两个孩子,引例:某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?则A:“家中至少有1.定义:且,称为在B发生的条件下A发生的条件概率.注:①时,无意义.②对于事件A,B,一、条件概率1.定义:且,称为在B2.性质:①②③2.性质:①②③例1.第二次抽到次品的概率.设10件产品中有3件次品,现无放回的抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,解:则{第i次抽到次品},注:区分条件概率与两事件同时发生概率的不同.求例1.第二次抽到次品的概率.设10件产品中有3件次品,现无放二、乘法公式设若则若则一般地,设若则二、乘法公式设若则若则一般地,设若则设口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解:{第i次取到白球},i=1,2则{第1次取到黑球},(验证抓阄的科学性)例2.无放回取球，求设口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解:类似地:类似地:盒子里有n个球，问第i个人取到黑球的概率.解:{第i个人摸到黑球},i=1,2,…,n(摸奖问题)例3.n个人其中n-1个白球，1个黑球.依次取一个球,不放回.盒子里有n个球，问第i个人取到黑球的概率.解:{第i个人摸到(摸到大奖的概率几乎为0)(摸到大奖的概率几乎为0)三、全概率公式和贝叶斯公式完备事件组).如:构成完备事件组1.完备事件组:若满足：事件组，则称

为

的一个分割(或称为的一个三、全概率公式和贝叶斯公式完备事件组).如:构成完备事件组12.全概率公式:且有称为全概率公式.则对设是的一个分割,2.全概率公式:且有称为全概率公式.则对设是的一个分割,例4.设某工厂有三个车间,生产同一种产品,解：设B表示取到得产品为次品；表示取到第i个车间的产品.一二三次品率:0.050.030.01产量:250020001500混合后从中任取一件,求该产品为次品的概率.例4.设某工厂有三个车间,生产同一种产品,解：设B表示取到3.贝叶斯公式：称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).且有则对是

的一设若贝叶斯个分割,3.贝叶斯公式：称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).且有则对是例5.临床上统计患非典的可能性分别为“仅发热”—“仅干咳”—“既发热又干咳”—“无上述现象”—现对某疫区25000人检查发现：“仅发热”—500人，“仅干咳”—1000人，“既发热又干咳”—250人，①疫区中任取一人，他为“非典”患者的概率;②“非典”患者中临床表现为“仅发热”病人的概率.检验“非典”：求例5.临床上统计患非典的可能性分别为“仅发热”—“仅干咳”—C={既发热又干咳的病人},D={无明显症状的人}，E={得了“非典”}①由全概率公式得：②由贝叶斯公式得：解：设A={仅发热的病人}，B={仅干咳的病人}，C={既发热又干咳的病人},D={无明显症状的人}，E={得已知例6.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱,从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.分别表示事件每箱含0,1,2只次品,已知例6.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含有0,1由贝叶斯公式:由贝叶斯公式:全概率公式与贝叶斯公式说明：令-“原因”,-“结果”,则-第i种原因发生的概率.-原因引起结果B发生的可能性大小.导致该结果出现的可能性大小.它是由某原因引起的可能性大小.全概率公式:综合引起结果的各种原因，贝叶斯公式:当结果出现时，全概率公式与贝叶斯公式说明：令-“原因”,-“结果”,则-第四、事件的相互独立性1、两事件独立定义1:两个事件满足若则称事件A与B相互独立.注：①与任何事件相互独立;②事件的独立与事件的互斥的区别;③判别独立的方法定义验证;对实际问题,由经验验证.(无联系)四、事件的相互独立性1、两事件独立定义1:两个事件满足若则称例2.从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令A={抽出一张K},问A与B是否独立?例1.求出现双6点的概率.解:设{第i枚骰子出现6点},i=1,2易知独立,B={抽出一张黑桃},解:是相互独立的.掷两枚均匀的骰子一次，加上大小王如何？例2.从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令A={定理1:①相互独立②若事件A与B独立,则也相互证:

、A与与B、与独立.定理1:①相互独立②若事件A与B独立,则也相互证:、大学概率论随机事件与概率课件例3.设A={甲中},B={乙中},C={目标被击中},=0.92.求在一次射击中目标被击中的概率.其命中率分别=0.8+0.60.80.6用对立事件公式两射手同时向同一目标射击一次，为0.8和0.6，解:解法1:解法2:例3.设A={甲中},B={乙中},C={目2、多个事件的独立定义2:若三个事件满足:则称事件两两独立.若在此基础上还满足：则称事件相互独立.2、多个事件的独立定义2:若三个事件满足:则称事件两两独立.注:两两独立相互独立例如：有4张同样大小的卡片,抽到的概率相同,1,2,3213令{抽到的卡片上有数字i},i=1,2,3则上面标有数字,每张被注:两两独立相互独立例如：有4张同样大小的卡片,抽到的概率相两两独立但即三个事件不相互独立.1,2,3213两两独立但即三个事件不相互独立.1,2,32一般地，设是n个事件，若以下等式成立:则称n个事件相互独立.一般地，设是n个事件，若以下等式成立:则称n个事件相互独立.若事件相互独立,则3、事件独立性的应用1)加法公式的简化2)在可靠性理论上的应用若事件相互独立,则3、事件独立性的应用1)加法公式的简化①解:设{第i支步枪击中飞机},②例4.用步枪射击飞机，每支步枪的命中率为0.004,求：①现用250支步枪同时射击飞机一次,飞机被击中的概率.②假如想以99%的概率击中飞机,至少需要多少支步枪同时射击.由①解:设{第i支步枪击中飞机},②例4.用步枪射击飞机，每支例5．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,每个触点闭合的概率为p,求L至R是通路的概率.且各继电器接点闭合与否相LR14235设A={L至R为通路},解:LR1425假设互独立,Ai={第i个继电器通},i=1,…,5从而有易知,构成了一完备事件组,与例5．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,每个触点闭合的由全概率公式R4L125由全概率公式R4L125内容小结条件概率、独立性1.

六个概念:

随机试验、样本空间、事件、概率、2.四个公式:

加法公式、乘法公式、全概率公式、3.两个概型:

古典概型、几何概型贝叶斯公式内容小结条件概率、独立性1.六个概念:随机试验、样本空间贝叶斯(1702–1763)贝叶斯(ThomasBayes),英国数学家.1702年出生于伦敦,做过神甫.1742年成为英国皇家学会会员.1763年4月逝世.贝叶斯在数学方面主要研究概率论,他首先将归纳推理法用于概率论基础理论,并创立了贝叶斯统计理论,对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著,对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯(1702–1763)贝叶斯(ThomasBay高尔顿板高尔顿板随机事件与概率随机事件及其运算随机事件的概率条件概率与事件的独立性第一章随机事件与概率随机事件及其运算随机事件的概率条件概率与事件的确定性现象与不确定性现象随机现象的统计规律性不确定性现象:(随机现象)确定性现象:

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数.

随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现的结果的规律性.前言确定性现象与不确定性现象随机现象的统计规律性不确定性现象:(概率论是一门研究客观世界随机现象统计规律的

数学分支学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的

数学分支学科.的数学分支学科，并无从属关系.学是概率论的一种应用.

但是它们是两个并列概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是一门研究客观世界随机现象统计规律的数学分支学科.数本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如

1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》

来描述;7.研究化学反应的时变率，要以《马尔序列分析》方法非常有用;4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性估计》;

3.

寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；5.处理通信问题,需要研究《信息论》；6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》来描述;水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是

《排队论》.领域的趋势还在不断发展.在社会科学领领域,特别是经济学中研究最优决策和经水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.

“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,

那么我们就寸步难行,无所作为.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.“概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高

等学校各专业都开设了该课程，而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一.概率统计的思想：看待万事万物的一

种方法。通过比较概率的大小做决定——统计规律、统计决策。概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了该课

第一章随机事件及其运算第一节一、基本概念二、事件之间的关系三、事件之间的运算四、事件的运算律第一章随机事件及其运算第一节一、基本概念二、事件之间的关1.加法原理:2.乘法原理:如果完成某件事有m种途径,而每种途径有种不同的方法,那么完成该件事共种不同的方法.有如果完成某件事须经过m个步骤,而完成每个步骤分别有种不同的方法,那么完成该件事共有种不同的方法.3.重复排列:从n个不同的元素中任意取出r个元素(1≤r≤n),按照一定顺序允许重复出现排成一列,称为从n个元素取出r个元素的重复排列,排列总数为预备知识1.加法原理:2.乘法原理:如果完成某件事有m种途径,而每4.选排列:预备知识从n个不同的元素中任取出r个(1≤r≤n)元素按照一定顺序不重复地排成一列,称为从n个元素中取出r个元素的选排列,记为且有5.全排列:r=n的选排列称为全排列,记为且有6.组合:从n个不同的元素中任意取出r个(0≤r≤n)元素组成一组(不考虑次序),称为从n个元素中取出r个元素的一个组合,记为且有4.选排列:预备知识从n个不同的元素中任取出r个(11.随机试验:(E)①可在相同条件下重复进行②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个③每一次试验的结果是不可预言的由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.其每个元素称为样本点.2.样本空间:对随机现象进行观察或试验.一、基本概念1.随机试验:(E)①可在相同条件下重复进行②试验的所有可能E1:将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;E2:掷一颗均匀骰子,考虑可能出现的点数;记录某网站一分钟内受到的点击次数;E3:例1.记录他的身高(m)和体重(kg).E4:任选一人,(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)写出下列试验的样本空间.E1:将一枚硬币连抛两次,考虑正反面出现的情况;E2:掷一颗注:①样本空间是一个集合;②对于一个随机试验而言,样本空间并不唯一.例如:掷两枚均匀的骰子一次,若试验目的是观察出现的点数和:若实验的目的是观察所有可能出现的结果:注:①样本空间是一个集合;②对于一个随机试验而言,样本空间并4.事件的发生:

5.必然事件与不可能事件:事件

集合3.随机事件：样本空间Ω的某个子集.例如:在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点基本事件：复合事件：由一个样本点构成的集合由多个样本点构成的集合发生所包含的某一个样本点出现4.事件的发生:5.必然事件与不可能事件:事件集二、事件之间的关系2.事件的相等:1.事件的包含:3.事件的互斥:(互不相容)A与B不能同时发生,注:①基本事件之间是互斥的;②与任何事件互斥.A

发生必然导致B发生,与B互斥.即若有则称A则称A包含于B.二、事件之间的关系2.事件的相等:1.事件的包含:3.事件的三、事件的运算1.和:(并)或2.积:(交)且注:和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.A,B中至少有一个发生的事件.A

,B同时发生的事件.三、事件的运算1.和:(并)或2.积:(交)且注:和、积运算4.逆:(对立事件)称A与B互逆.注:①事件互斥与互逆的区别②且注:③①3.差:A发生而B不发生的事件,②若A,B互斥,若A与B满足,且则称为A与B的差.4.逆:(对立事件)称A与B互逆.注:①事件互斥与互逆的区四、事件的运算律3.对偶律：①（积的逆＝逆的和）②（和的逆＝逆的积）2.分配律：①②1.交换律、结合律:(略)四、事件的运算律3.对偶律：①（积的逆＝逆的和）②（和的逆＝例2.用A、B、C的运算关系表示下列各事件:①三个事件中至少一个发生:

②没有一个事件发生:（由对偶律）③恰有一个事件发生:④至多有两个事件发生:（考虑其对立事件）⑤至少有两个事件发生:不能从字面上理解事件的对立.注:例2.用A、B、C的运算关系表示下列各事件:①三个事件中至

第一章随机事件的概率第二节一、概率的统计定义二、古典概率三、几何概率四、概率的性质第一章随机事件的概率第二节一、概率的统计定义二、古典概率引言概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P(A)来表示事件A发生的可能性大小.引言概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征,通常用P一、概率的统计定义1.频率:定义1:在相同的条件下重复进行了N次试验,若A发生了次,则称为A在N次试验中出现的频率.独立重复地做N次试验,2.概率的统计定义:定义2:发生的频率稳定地在某一数值p附近摆动,生的概率.当N很大时,若事件A则称p为A发注:概率是确定的,而频率与试验次数有关.高尔顿板一、概率的统计定义1.频率:定义1:在相同的条件下重复进行二、古典概率①有限性②等可能性1.古典型随机试验:2.古典概率的定义：若事件中含有个样本点,则称为发生的概率,定义3:设古典型试验的样本空间为记为中的样本点个数中的样本点个数二、古典概率①有限性②等可能性1.古典型随机试验:2.古典概例1.从编号为的10个同样的球中任取一个,解:由题意知,问题归结为古典概率的计算,Ω包含的样本点个数:A包含的样本点个数:则B包含的样本点个数:则B={抽到奇数号球}的概率.A={抽到2号球}，求例1.从编号为的10个同样的球中任取一个,解:由题意知,问例2.掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.解:Ω包含的样本点个数:设A={出现点数和为8},则A包含的样本点个数:思考:能否取为什么?(不能，因为基本事件不是等可能的)例2.掷两枚均匀的骰子一次,求出现点数和为8的概率.解:Ω解:⑴设A={恰有一双配对},则或求：⑵至少有一双配对的概率.例3.(2)设B={至少有两只鞋子配成一双},则⑴其中恰有一双配对的概率；从6双不同的鞋子中任取4只，解:⑴设A={恰有一双配对},则或求：⑵至少有一双配对不能，因为取到两双部分重复了一次，某一次取法：第3双，第4双另一次取法：第4双，第3双B包含的样本点个数应为思考:B包含的样本点个数能否为为什么?比如：2.古典概率的性质:⑴非负性：对任意A，⑵规范性：⑶可加性：若A和B互斥，⑷⑸则重复！不能，因为取到两双部分重复了一次，某一次取法：第3双，第4双三、几何概率①无限性②等可能性1.几何型随机试验:2.几何概率的定义：在几何型随机试验中,的测度(长度,面积,体积)的测度(长度,面积,体积)定义事件A发生的概率为三、几何概率①无限性②等可能性1.几何型随机试验:2.几何概例4.如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,若在海域里随意选取一点钻探,解:由题意知,设A={钻到石油},则问钻到石油的概率是多少？问题归结为几何概率的计算,例4.如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的则会面的充要条件这是一几何概率问题,(7点设为零时刻),所求概率点为图中阴影部分,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,例5.（会面问题）两人相约7点到8点在先到者等候另一人20分钟后就试求这两人能会面的概率？解:以分别表示两人到达时刻能会面的为,可离去，某地会面，则会面的充要条件这是一几何概率问题,(7点设为零时刻),所求四、概率的性质(1)有限可加性：是

n个两两互不相容的事件，设即则有(3)单调性：(2)事件差：A,B是两个事件,则;若事件,;;则四、概率的性质(1)有限可加性：是n个两两互不相容的事件(4)加法公式：对任意两事件有该公式可推广到任意n个事件的情形.(5)互补性：(6)可分性：对任意两事件有注:;(4)加法公式：对任意两事件有该公式可推广到任意n个事件的情故例6.(1)取到的数能被2或3整除的概率;(2)取到的数即不能被2也不能被3整除的概率;(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率.B={能被3整除},解:设A={取到的数能被2整除},则求在110这10个自然数中任取一数,故例6.(1)取到的数能被2或3整除的概率;(2)取到的数即例7.个数字之积能被10整除的概率?从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,求这n解:设A={取出的这n个数字中含有数字5},B={取出的这n个数字中含有偶数字},则例7.个数字之积能被10整除的概率?从1-9九个数字中有放回

第一章条件概率与事件的独立性第三节一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式及贝叶斯公式四、事件的相互独立性第一章条件概率与事件的独立性第三节一、条件概率二、乘法公某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?则A:“家中至少有一个女孩”,B:“家中至少有一个男孩”从而引言已知某家庭中有两个孩子,引例:某事件的发生对另一事件的发生是否产生影响?则A:“家中至少有1.定义:且,称为在B发生的条件下A发生的条件概率.注:①时,无意义.②对于事件A,B,一、条件概率1.定义:且,称为在B2.性质:①②③2.性质:①②③例1.第二次抽到次品的概率.设10件产品中有3件次品,现无放回的抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,解:则{第i次抽到次品},注:区分条件概率与两事件同时发生概率的不同.求例1.第二次抽到次品的概率.设10件产品中有3件次品,现无放二、乘法公式设若则若则一般地,设若则二、乘法公式设若则若则一般地,设若则设口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解:{第i次取到白球},i=1,2则{第1次取到黑球},(验证抓阄的科学性)例2.无放回取球，求设口袋中有a只白球、b只黑球，第二次取出的是白球的概率.解:类似地:类似地:盒子里有n个球，问第i个人取到黑球的概率.解:{第i个人摸到黑球},i=1,2,…,n(摸奖问题)例3.n个人其中n-1个白球，1个黑球.依次取一个球,不放回.盒子里有n个球，问第i个人取到黑球的概率.解:{第i个人摸到(摸到大奖的概率几乎为0)(摸到大奖的概率几乎为0)三、全概率公式和贝叶斯公式完备事件组).如:构成完备事件组1.完备事件组:若满足：事件组，则称

为

的一个分割(或称为的一个三、全概率公式和贝叶斯公式完备事件组).如:构成完备事件组12.全概率公式:且有称为全概率公式.则对设是的一个分割,2.全概率公式:且有称为全概率公式.则对设是的一个分割,例4.设某工厂有三个车间,生产同一种产品,解：设B表示取到得产品为次品；表示取到第i个车间的产品.一二三次品率:0.050.030.01产量:250020001500混合后从中任取一件,求该产品为次品的概率.例4.设某工厂有三个车间,生产同一种产品,解：设B表示取到3.贝叶斯公式：称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).且有则对是

的一设若贝叶斯个分割,3.贝叶斯公式：称为贝叶斯公式(或逆全概率公式).且有则对是例5.临床上统计患非典的可能性分别为“仅发热”—“仅干咳”—“既发热又干咳”—“无上述现象”—现对某疫区25000人检查发现：“仅发热”—500人，“仅干咳”—1000人，“既发热又干咳”—250人，①疫区中任取一人，他为“非典”患者的概率;②“非典”患者中临床表现为“仅发热”病人的概率.检验“非典”：求例5.临床上统计患非典的可能性分别为“仅发热”—“仅干咳”—C={既发热又干咳的病人},D={无明显症状的人}，E={得了“非典”}①由全概率公式得：②由贝叶斯公式得：解：设A={仅发热的病人}，B={仅干咳的病人}，C={既发热又干咳的病人},D={无明显症状的人}，E={得已知例6.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱,从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.分别表示事件每箱含0,1,2只次品,已知例6.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含有0,1由贝叶斯公式:由贝叶斯公式:全概率公式与贝叶斯公式说明：令-“原因”,-“结果”,则-第i种原因发生的概率.-原因引起结果B发生的可能性大小.导致该结果出现的可能性大小.它是由某原因引起的可能性大小.全概率公式:综合引起结果的各种原因，贝叶斯公式:当结果出现时，全概率