黎曼积分与勒贝格积分的比较

..毕业论文题目黎曼积分与勒贝格积分的比较学院****************姓名****专业班级********学号*********指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日黎曼积分与勒贝格积分的比较摘要本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分的基本性质,可积条件,结合相关定理,分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处,并结合具体实例,具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别.关键字黎曼积分；勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.目录引言11定义11.1黎曼积分的定义11.2勒贝格积分的定义22黎曼积分与勒贝格积分的基本性质22.1黎曼积分的基本性质22.2勒贝格积分的基本性质33黎曼可积与勒贝格可积的条件43.1黎曼可积的条件43.2勒贝格可积的条件54相关定理54.1与勒贝格积分有关的定理54.2与黎曼积分有关的定理65黎曼积分与勒贝格积分的联系66黎曼积分与勒贝格积分的区别87实例10总结11参考文献12致谢13黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道,黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数,就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序,重积分交换次序,牛顿-莱布尼茨公式等来看,在黎曼积分情形所加条件,没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上,如果不用勒贝格测度概念,数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.1定义1.1黎曼积分的定义设在上有定义作划分.在上添加个分点得到,将分成个小区间,记小区间的长度为.取近似.任取点,用底为,高为的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积.求和.这些小矩形面积之和为.取极限.令,当时,极限存在.则称在上黎曼可积,且有1.2勒贝格积分的定义设是有界可测集上的可测函数<简单函数的积分>设上简单函数,其中等为互不相交的可测集,等互异,表示的特征函数.和为简单函数在上的积分,并记为<非负可测函数的积分>取简单函数满足,另变动,定义在上积分为如果此量为有限,则称在上可积,否则只说在上积分为〔这时在上有积分但不可积.3>〔一般可测函数的积分对于一般可测函数,当与不同时为时,定义在上的积分为当此式右端两项均为有限项时,的积分是有限的,称在上可积.2黎曼积分与勒贝格积分的基本性质2.1黎曼积分的基本性质性质1若在上黎曼可积,为常数,则在上黎曼可积,且.性质2若,都在上黎曼可积,则在上也黎曼可积,且.性质3若,都在上黎曼可积,则在上也黎曼可积.性质4在上黎曼可积的充要条件是:任给,在与都黎曼可积,且有等式.性质5设为上的黎曼可积函数.若,,则.性质6若在上黎曼可积,则在上也黎曼可积,且.2.2勒贝格积分的基本性质性质1设是有界可测集上的可积函数,,等均可测且两两不相交,则有.性质2设在有界可测集上可积,则对任意正数,有正数,使当时就有.性质3设是有界可测集上的可积函数,,等均可测且两两不相交,则.性质4设在上可积,则对任何实数,也可积,且.性质5设在,上均可积,则也可积,且.性质6设在,上均可积,且,则.3黎曼可积与勒贝格可积的条件3.1黎曼可积的条件充分条件：1、若为定义在上的连续函数,则在上黎曼可积.2、若为定义在上的只有有限个间断点的有界函数,则在上黎曼可积.3、若为定义在上的单调函数,则在上黎曼可积.4、若为定义在上的有界函数,是的间断点,且,则在上黎曼可积.充要条件：设在上有界1、在上黎曼可积的充要条件是：在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设为对的任意分割.由在上有界,它在每个上存在上、下确界：,作和,,则有.2、在上黎曼可积的充要条件是：任给,总存在相应的一个分割,使得.3、在上黎曼可积的充要条件是：任给,总存在相应的某一分割,使得〔其中,称为在上的振幅.必要条件：若函数在上黎曼可积,则在上必定有界.3.2勒贝格可积的条件充分条件：若是有界可测集上的非负可测函数,则在上勒贝格可积.2、若可测函数,在可测集上几乎处处满足,则当可积时,也可积.3、设为定义在有限区间上的函数,若黎曼可积,则必然勒贝格可积.充要条件：1、设是可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件是：在上勒贝格可测.2、设是可测集上的连续函数,则在上勒贝格可积的充要条件是：在上勒贝格可测.4相关定理4.1与勒贝格积分有关的定理1、〔唯一性定理设在可测集上勒贝格可积,则的充要条件是.2、〔勒维定理设可测集上可测函数列满足下面的条件：,则的积分序列收敛于的积分：.3、〔法杜定理设是可测集上的非负可测函数列,则.4、〔控制收敛定理设可测集上可测函数列满足下面的条件：的极限存在,,且有可积函数使,则可积,且有.4.2与黎曼积分有关的定理1〔连续性若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数在上也连续.2〔可积性若函数列在上一致收敛,且每一项都连续,则.3〔可微性设为定义在上的函数列,若为的收敛点,的每一项在上有连续的导数,且在上一致收敛,则.5黎曼积分与勒贝格积分的联系1、对于定义在上的函数,若它是黎曼可积的,则必然是勒贝格可积的,且由此可知,通常在计算勒贝格积分时,一般先考虑该函数是否黎曼可积,如果可以,那么就先化为黎曼积分求解.下面先看一个例子.计算在上的积分.解用截断函数求解是上的非负函数,作截断函数显然,对每个均黎曼可积,故也勒贝格可积,且有于是,注：上述结论只对上的有界函数成立,对于无界函数的广义积分,结论不再成立.例2在上定义函数其反常积分的值为,但,不是勒贝格可积的.但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若在上黎曼反常积分存在,则必勒贝格可积的,且积分值相等.勒贝格可积的函数不一定黎曼可积例3在上定义狄利克雷函数：就不是黎曼可积的.事实上,对区间的任意分划,一切积分大和等于,一切积分小和等于.因而不可能是黎曼可积的.但是,注意到,就知道的勒贝格积分存在且等于.勒贝格积分是一定意义下黎曼积分的推广〔测度是长度的推广,可测函数是连续函数的推广注：勒贝格积分并不是单纯的对黎曼积分的推广例4设函数定义在上,由于在广义积分理论有,从而是黎曼可积的,但是在勒贝格积分理论中,由于,即非绝对可积,故不是勒贝格可积的.6黎曼积分与勒贝格积分的区别就可积函数的积分范围来看,勒贝格积分比黎曼积分更广泛.对定义域和值域的划分是黎曼积分与勒贝格积分最本质的区别.黎曼积分是将给定的函数划分定义域而产生的,而勒贝格积分是通过划分函数值域而产生的.黎曼积分划分后的区间长度很容易给出,但当分割的细度加细时,函数的振幅仍可能较大,而勒贝格积分的优点是函数的振幅较小,从而扩展了可积函数类,使许多问题得到解决.但一般不再是区间,而是可测集,其度量一般不容易给出.然而就是这一点点差别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具有的良好性质.因为勒贝格积分相对黎曼积分的从某些极限过程来看,勒贝格积分比黎曼积分更优越些.对黎曼积分来说,关于积分列求极限的问题,经常要求函数序列一致收敛〔充分条件,极限才可以与积分号交换顺序.从运算的角度看不仅不方便,限制也过强.然而关于勒贝格积分,对函数列的要求就宽的多.例5在上定义狄利克雷函数：把中的有理点依次排列为作函数：则处处收敛于,且,.由勒贝格控制收敛定理知,是勒贝格可积的,且有.但由例3知,不是黎曼可积的,就谈不上上述极限等式成立的可能性.尽管在黎曼积分意义下,,.微积分基本定理的使用范围扩大了.我们来看数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式在数学分析中通常在有连续导数的假定下证明上述公式,或者将条件减弱些,但总要求为黎曼可积才行.可是对于勒贝格积分情形,可以在为勒贝格可积的条件下进行讨论.当有界时,证明微积分基本定理并不难,但当无界时,只要是可积的,微积分基本定理成立.黎曼积分和勒贝格积分的可加性〔区域可加性不同.由前面黎曼积分和勒贝格积分的性质知道,黎曼积分具有有限可加性,但没有可列可加性,而对于勒贝格积分,它不仅具有有限可加性,还具有可列可加性.克服了黎曼积分的缺陷.对于这两种积分的可加性不难理解,我们知道,黎曼积分建立在区间之上,而区间只有有限可加性,勒贝格积分建立在勒贝格测度之上,测度具有可列可加性,由于它们之间的密切联系,区间和勒贝格测度也就反映到相应的积分上来了.7实例因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性,所以我们平时用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题.例6计算上黎曼函数的积分.分析：这个函数在所有无理点处是连续的,在有理点处是不连续的,虽然在中有无穷多个有理点,即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个,但它仍是黎曼可积的,但用黎曼积分方法求其积分值比较复杂,然而用勒贝格积分的方法求积分值就十分简单了.解由是黎曼可积几乎处处连续,令,,则例7求极限.解因为有且有由勒贝格控制收敛定理可得.利用勒贝格积分可得出黎曼积分比较深刻的理论,其中之一就是黎曼可积条件的推广.利用勒贝格积分理论中的积分极限定理,可以证明：对上有界函数,黎曼可积的充分必要条件是在上不连续点的测度长为,这是黎曼积分的本质特性,从黎曼积分的自身理论是推不出来的,必须借助勒贝格积分理论才能得到.但是,黎曼积分也有它的优势,比如在非均匀分布时,"直线段"质量、平面薄板质量等的问题上,用黎曼积分比较简洁方便.总结勒贝格积分和黎曼积分之间有一种相互依赖、相互补充及特定条件下相互转化的关系.勒贝格积分拓宽了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了.勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处.它,放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强要求,由勒贝格控制收敛定理,只要所给函数列可