2022高考冲刺数学题源探究-立体几何：直线平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质【考点梳理】1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α【教材改编】1．(必修2P61练习改编)以下命题为真的是()A．假设直线l与平面α有两个公共点，那么l⊄αB．假设α∥β，a⊂α，b⊂β，那么a与b是异面直线C．假设α∥β，a⊂α，那么a∥βD．假设α∩β＝b，a⊂α，那么a与β一定相交[答案]C[解析]A错误．直线l和平面有两个公共点，那么l⊂α.B错误．假设α∥β，a⊂α，b⊂β，那么a与b异面或平行．C正确．因为a与β无公共点，那么a∥β.D错误．a与β有可能平行．应选C.2．(必修2P61A组T1(2)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面αA．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交[答案]D[解析]因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，应选D.3．(必修2P61A组T1(1)改编)设m，n表示直线，α、β表示平面，那么以下\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,n∥α))⇒m∥n\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,α∥β))⇒m∥β\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩β＝m,n∥α,n∥β))⇒m∥n\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,m∥α,n∥β))⇒m∥n[答案]C[解析]A错误．因为m可能与n相交或异面．B错误．因为m可能在β内．D错误．m、n可能异面，应选C.4．(必修2P63B组T3改编)如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，假设AC＝2，CE＝3，BF＝4，那么BD的长为()\f(6,5) \f(7,5)\f(8,5) \f(9,5)[答案]C[解析]由AB∥α∥β，易证eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF).即eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)，∴BD＝eq\f(AC·BF,AE)＝eq\f(2×4,5)＝eq\f(8,5).5．(必修2P62A组T3改编)在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFHA．18 B．18eq\r(3)C．36 D．36eq\r(3)[答案]A[解析]∵D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，那么四边形DEFH是平行四边形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，∵SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，∴AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，那么HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，∴四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，应选A.6．(必修2P63B组T4改编)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC①没有水的局部始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如下图时，BE·BF是定值．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，应选C.7.(必修2P78A组T4改编)如图，E、F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱B1C1与D1C1的中点，[答案]eq\f(9,8)a2[解析]依题意，EFeq\f(1,2)B1D1eq\f(1,2)BD，∴四边形DBEF为梯形，且BD＝eq\r(2)a，EF＝eq\f(\r(2),2)a.连结AC交BD于O，连结A1C1交EF于M可证BD⊥平面ACC1A1，从而BD⊥OM作MN⊥AC于N，可证MN⊥平面ABCD，且N为OC中点∴OM＝eq\r(MN2＋ON2)＝eq\r(a2＋\f(\r(2),4)a2)＝eq\f(3,4)eq\r(2)a，∴S梯形DBEF＝eq\f(DB＋EF,2)·OM＝eq\f(\r(2)＋\f(\r(2),2)a,2)×eq\f(3,4)eq\r(2)a＝eq\f(9,8)a2.8．(必修2P59例3改编)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1[答案]2eq\r(6)[解析]如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，那么平面A1EF∥平面BPC1在△A1EF中，A1F＝A1E＝eq\r(5)，EF＝2eq\r(2)，S△A1EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝eq\r(6)，从而所得截面面积为2S△A1EF＝2eq\r(6).9．(必修2P62A组T7、P58练习T2改编)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，点D是BC的中点，欲过点A′作一截面与平面AC′D(1)问应当怎样画线，并说明理由；(2)求所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三局部的体积之比．[解析](1)在三棱柱ABC­A′B′C′中，点D是BC的中点，取B′C′的中点E，连接A′E，A′B，BE，那么平面A′EB∥平面AC′D，A′E，A′B，BE即为应画的线．理由如下：因为D为BC的中点，E为B′C′的中点，所以BD＝C′E.又因为BC∥B′C′，所以四边形BDC′E为平行四边形，所以DC′∥BE.连接DE，那么DEBB′，所以DEAA′，所以四边形AA′ED是平行四边形，所以AD∥A′E.又因为A′E∩BE＝E，A′E⊂平面A′BE，BE⊂平面A′BE，AD∩DC′＝D，AD⊂平面AC′D，DC′⊂平面AC′D，所以平面A′EB∥平面AC′D.(2)设棱柱的底面积为S，高为h.那么V三棱锥C′­ACD＝V三棱锥B­A′B′E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.所以三棱柱夹在平面AC′D与平面A′EB间的体积为V′＝Sh－2×eq\f(1,6)Sh＝eq\f(2,3)Sh，∴所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三局部的体积之比为eq\f(1,6)Sh∶eq\f(2,3)Sh∶eq\f(1,6)Sh＝1∶4∶1.10．(必修2P56练习T2改编)如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A、C、E三点作平面α(1)画出平面α与正方体ABCD­A1B1C1D1(2)求证：BD1∥平面α.[解析](1)如图，交线即为EC、AC、AE，平面α即为平面AEC.(2)证明：连接BD与AC交于O，连接EO，BD，∵ABCD为正方形，∴O是BD的中点，又E为DD1的中点．∴OE∥BD1，又OE⊂平面α，BD1⊄平面α.∴BD1∥平面α.11．(必修2P62A组T5改编)如图，AB∥平面α.C、D是α内任意两点，M、N分别是AC与BD的中点，求证：MN∥α[解析]法一：①当AC与BD共面时，由AB∥α知，AB∥CD，MN∥CD.又∵CD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.②当AC与BD不共面时，取AD的中点E，连接ME、EN.∵M、N分别是AC与BD的中点，∴EN∥AB，ME∥CD，又CD⊂α，ME⊄α，那么ME∥α.