有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。一、四个原则：①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。=4\*GB3④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。二、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。例：计算：－－(－3)+－(7)解法一：－－(－3)+－(7)=(－++(3－7)=－4=－2解法二：－－(－3)+－(7)=－+3+－7=(3+2－7)+(－++－)=－2评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．=2\*GB3②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。解：原式例：计算：19＋299＋3999＋49999解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1=(20＋300＋4000＋50000)－4=54320－4=54316．=3\*GB3③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。例：计算：解：原式例：计算：。解：原式例：计算2022×－1001×．解：2022×－=(2022＋1)×－(1002－1)×=(2022－1001)＋(＋)=1003评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．=4\*GB3④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。例：计算：解：原式=5\*GB3⑤倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。例：计算解：设，把等式右边倒序排列，得将两式相加，得即，所以A=4005所以原式＝4005=6\*GB3⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法例：解：应用关系式来进行“拆项”。原式=7\*GB3⑦正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例：计算：×37＋×＋×88．解：×37＋×＋×88=×37＋×10)×＋×44=×37＋×19＋×44=×(37＋19＋44)=1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．=8\*GB3⑧变序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例：计算：解：原式。例：计算：[4＋(－)]＋[(－)＋6]解：[4＋(－)]＋[(－)＋6]=4＋(－)＋(－)＋6=[4＋6]＋[(－)＋(－)]=11＋(－)=10评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．同步练习题1：1.计算：2.已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。3.计算：（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）4.求和（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）5.计算：同步练习题2：1.计算：2.计算：3.计算：4.计算：同步练习题1参考答案：1.解法1：原式解法2：原式2.解：设对应的数为所以，3.解：原式4.