正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

1.下列函数中，周期为eq\f(π,2)的是()A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos4x解析：由公式T＝eq\f(2π,ω)知eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，ω＝4.答案：D2．函数y＝sin(eq\f(2013,2)π－x)是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数解析：y＝sin(eq\f(2013,2)π－x)＝sin(1006π＋eq\f(π,2)－x)＝sin(eq\f(π,2)－x)＝cosx，∴函数y＝sin(eq\f(2013,2)π－x)是偶函数．答案：B3．设函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,2))，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数解析：f(x)＝sin(2x－eq\f(π,2))＝－cos2x，∴f(x)是偶函数且T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：B4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，则f(eq\f(5π,3))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：∵f(x)的周期为π，∴f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(5π,3)－2π)＝f(－eq\f(π,3))．又∵f(x)是偶函数，且当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx，∴f(eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：D5．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝________．解析：由条件可知f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－16．若函数f(x)＝2cos(ωx＋eq\f(π,3))(ω＞0)的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是________．解析：T＝eq\f(2π,ω)，∵T∈(1，3)，∴1＜eq\f(2π,ω)＜3即eq\f(2π,3)＜ω＜2π.取π＝3.14，得2.09＜ω＜6.28.∴正整数ω的最大值是6.答案：67．定义域为R的偶函数f(x)的最小正周期是π，当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)＝sinx.(1)求x∈[eq\f(π,2)，π]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；解：(1)当x∈[eq\f(π,2)，π]时，π－x∈[0，eq\f(π,2)]，∴f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx，又f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(π－x)＝f(－x)＝f(x)．∴当x∈[eq\f(π,2)，π]时，f(x)＝sinx.(2)先画出f(x)＝sinx，x∈[0，π]时的图像，再作出关于y轴的对称图形，如图，即为函数f(x)在[－π，π]上的简图．8．有两个函数f(x)＝asin(kx＋eq\f(π,3))，g(x)＝bcos(2kx－eq\f(π,3))(k＞0)，它们的周期之和为eq\f(3π,2)，且f(eq\f(π,2))＝g(eq\f(π,2))，f(eq\f(π,4))＝－eq\r(3)·g(eq\f(π,4))＋1，求k，a，b.解：f(x)的周期T1＝eq\f(2π,k)，g(x)的周期T2＝eq\f(2π,2k).∴eq\f(2π,k)＋eq\f(2π,2k)＝eq\f(3π,2).∴k＝2，∴f(x)＝asin(2x＋eq\f(π,3))，g(x)＝bcos(4x－eq\f(π,3))．∵f(eq\f(π,2))＝g(eq\f(π,2))，f(eq\f(π,4))＝－eq\r(3)g(eq\f(π,4))＋1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(asin（π＋\f(π,3)）＝bcos（2π－\f(π,3)），,asin（\f(π,2)＋\f(π,3)）＝－\r(3)bcos（π－\f(π,3)）＋1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a＝\f(1