立体几何(知识点总结,解题方法总结)

精选【解】（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α。在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=eq\r(2).∴Rt△AA1B中，A1B=eq\r(AB2－AA12)=eq\r(4－1)=eq\r(3)。由AA1·A1B=A1F·A1F=eq\f(AA1·A1B,AB)=eq\f(1×\r(3),2)=eq\f(\r(3),2),∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=eq\f(A1E,A1F)=eq\f(\r(6),3)，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsineq\f(\r(6),3).第二部分《空间直线、平面的平行问题》将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”（一）“线线平行”与“线面平行”的转化问题1如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅱ）求证：平面；【解】证明本题的关键：在平面EAC中“找”一条与PB平行的直线，由于点E在平面PBD中，所以可以在平面PBD中过点E“找”（显然，要“找”的直线就是平面PBD与平面EAC的交线）。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。（Ⅱ）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形O是BD的中点又E是PD的中点，EO//PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC。2．如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．【解】分析通上题。（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中。，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE（二）“线面平行”与“面面平行”的转化问题2．如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，（Ⅰ）求证：；【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂（不是不可以），所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点M、N都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K（OC的中点），将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。（Ⅰ）取的中点，连结∵分别为的中点∵∴面，面∴面面∴面第三部分《空间直线、平面的垂直问题》将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。（一）“线线垂直”到“线面垂直”1．如图，是正四棱柱。（=1\*ROMANI）求证：BD⊥平面；【解】根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条相交的直线AC、A1A与BD垂直。（Ⅰ）∵是正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC又∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面。2．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；【解】（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面3．如图4,已知两个正四棱锥的高分别为1和2,。（=1\*ROMANI）证明:；【解】（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。从而AD平面PQM。又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。

9．图1图2在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）图1图2（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；【解】不妨设正三角形的边长为3，则（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。又AE=DE=1，∴EF⊥AD。在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。（二）“线面垂直”到“线线垂直”1．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。【解】连结AD，则易知AD与BF的交点为O。（=1\*ROMANI）证法1：又证法2:2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点。（Ⅰ）求证：；【解】（=1\*ROMANI）因为是的中点，，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.3．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC；【解】（1）方法一：作AH面BCD于H，连DH。ABBDHBBD，又AD＝，BD＝1AB＝＝BC＝ACBDDC又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC方法二：取BC的中点O，连AO、D