2022高考冲刺数学题源探究-立体几何：空间几何体的表面积与体积

空间几何体的外表积与体积【考点梳理】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的外表积与体积公式名称几何体外表积体积柱体(棱柱和圆柱)S外表积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S外表积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S外表积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【教材改编】1．(必修2P24内文改编)以长为a，宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为()A．ab B．πabC．2πab D．2ab[答案]C[解析]假设以长边所在的直线为轴旋转，那么S侧＝2πab，假设以短边所在的直线为轴旋转，那么S侧＝2πba.∴S圆柱侧＝2πab，应选C.2．(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，那么球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3[答案]B[解析]设球的半径为R.那么eq\f(V球,V柱)＝eq\f(\f(4,3)πR3,πR2×2R)＝eq\f(2,3)，应选B.3．(必修2P15练习T4改编)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为()A．6 B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3[答案]B[解析]由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为eq\r(3)的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).4．(必修2P30B组T3改编)等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()\f(2\r(2)π,3) \f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π[答案]B[解析]绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如下图．每一个圆锥的底面半径和高都为eq\r(2)，故所求几何体的体积V＝2×eq\f(1,3)×2π×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).5．(必修2P37B组T2改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，那么球的体积为()\f(500π,3)cm3 \f(866π,3)cm3\f(1372π,3)cm3 \f(2048π,3)cm3[答案]A[解析]如图，作出球的一个截面，那么MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，那么R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3)．6．(必修2P35A组T5改编)圆柱内接于半径为1的球，那么A．π B．2πC．3π D．4π[答案]B[解析]如下图，该圆柱上、下底面圆心连线的中点M即为外接球的球心，设AB为下底面圆的一条直径，设∠MAO＝α，∵MA＝1，∴MO＝sinα，AO＝cosα，∴OO′＝2sinα，∴该圆柱侧面积S＝2πAO·OO′，∴S＝2π·2sinαcosα＝2πsin2α，∴当α＝eq\f(π,4)时，Smax＝2π.7．(必修2P36B组T1改编)由八个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD是边长为1的正方形，那么该几何体的体积为________．[答案]eq\f(\r(2),3)[解析]该几何体的六个顶点分别是正方体的六个面的中心，如图，P到平面ABCD的距离为h＝eq\r(PA2－\f(1,2)AC2)＝eq\r(12－\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(2),2).∴该几何体体积V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)×2＝eq\f(\r(2),3).8．(必修2P28A组T3改编)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图的几何体ABCD­A1C1D1，这个几何体的体积为eq\f(40,3)，那么经过A1，C1，B，D四点的球的外表积为________．[答案]24π[解析]设AA1＝x，那么VABCD­A1C1D1＝VABCD­A1B1C1D1－VB­A1B1C1＝2×2×x－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×x＝eq\f(40,3)，那么x＝4.因为A1，C1，B，D是长方体的四个顶点，所以经过A1，C1，B，D四点的球的球心为长方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R＝eq\f(\r(22＋22＋42),2)＝eq\r(6)，所以球的外表积为24π.9．(必修2P27练习T1改编)圆锥的侧面积为am2，且它的侧面展开图为半圆，那么圆锥的体积为________m3.[答案]eq\f(a,6)eq\r(\f(3a,2π))[解析]圆锥的直观图与侧面展开图如下图．设圆锥的底面半径为r，母线为l那么πrl＝a，①2πr＝πl，②联立①②解得r＝eq\r(\f(a,2π))，l＝2eq\r(\f(a,2π))，∴OO1＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(a,2π))，∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2·OO1＝eq\f(1,3)π·eq\f(a,2π)·eq\r(\f(3a,2π))＝eq\f(a,6)eq\r(\f(3a,2π)).10．(必修2P32球体的体积改编)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为________．[答案]eq\f(16,3)π[解析]由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×22×2－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(16,3)π.11．(必修2P37B组T4改编)一块边长为acm的正方形铁片按如下图的阴影局部裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥)形容器，假设正四棱锥底面边长为x.(1)求容器的容积V(x)；(2)求V(x)的最大值；(3)求当V(x)取最大值时正四棱锥的全面积．[解析](1)如图，AB＝x，OF＝eq\f(x,2)，EF＝eq\f(a,2)，(0<x<a)∴EO＝eq\r(EF2－OF2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2－x2).∴V(x)＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·EO＝eq\f(1,6)x2eq\r(a2－x2).(2)V(x)＝eq\f(1,6)eq\r(a2x4－x6)，令y＝a2x4－x6(0<x<a)，那么y′＝4a2x3－6x5＝2x3(2a2－3x当y′＝0时，x＝eq\f(\r(6),3)a.当y′<0时，eq\f(\r(6),3)a<x<a，y′>0时，0<x<eq\f(\r(6),3)a.∴y＝a2x4－x6(0<x<a)在(0，eq\f(\r(6),3)a)上是增函数，在(eq\f(\r(6),3)a，a)上是减函数，∴当x＝eq\f(\r(6),3)a时，ymax＝a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))6＝eq\f(4,27)a