专题33 动态几何之线动形成的最值问题

一、选择题1.〔2022陕西省3分〕在平面直角坐标系中，将抛物线向上〔下〕或向左〔右〕平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，那么的最小值为【】A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题三、解答题1.〔2022年四川乐山13分〕如图1，抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。〔1〕求抛物线C的解析式；〔2〕将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。①假设P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间设直线AB的解析式为y=kx+b，那么，解得：。∴直线AB的解析式为。∵P为线段AB上一动点，∴设P。∴。∴△APD面积的最大值为9。当时，由上面讨论的结果，△AE1E2的一边与△AF1F2的某一边不可能在同一直线上。2.〔2022年四川宜宾升学12分〕如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．〔1〕请直接写出抛物线y2的解析式；〔2〕假设点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；〔3〕在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？假设存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；假设不存在，请说明理由．【答案】解：〔1〕抛物线向右平移4个单位的顶点坐标为〔4，－1〕，∴抛物线y2的解析式为。〔2〕当x=0时，y1=﹣1，y1=0时，=0，解得x=1或x=－1，∴点A〔1，0〕，B〔0，－1〕。∴∠OBA=450。联立，解得。∴点C的坐标为〔2，3〕。∵∠CPA=∠OBA，∴点P在点A的左边时，坐标为〔－1，0〕；在点A的右边时，坐标为〔5，0〕。∴点P的坐标为〔－1，0〕或〔5，0〕。∴存在第四象限的点Q〔，〕，使得△QOC中OC边上的高h有最大值，最大值为。3.〔2022福建泉州14分〕如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A〔﹣6，0〕，过点E〔﹣2，0〕作EF∥AB，交BO于F；〔1〕求EF的长；〔2〕过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆〔包括直径两端点〕，使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围〔不必说理〕；〔3〕在〔2〕中，假设点M〔2，〕，探索2PO+PM的最小值．【答案】解：〔1〕在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°。∴∠EFO=∠FOE=45°。又E〔﹣2，0〕，∴EF=EO=2。【考点】几何综合题，旋转和几何最值问题，正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短的性质。【分析】〔1〕利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度．4.〔2022年四川成都10分〕在平面直角坐标系中，抛物线〔b，c为常数〕的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为〔0，﹣1〕，C的坐标为〔4，3〕，直角顶点B在第四象限．〔1〕如图，假设该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；〔2〕平移〔1〕中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．〔i〕假设点M在直线AC下方，且为平移前〔1〕中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；〔ii〕取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；假设不存在，请说明理由．【答案】解：〔1〕由题意，得点B的坐标为〔4，﹣1〕．∵抛物线过A〔0，﹣1〕，B〔4，﹣1〕两点，∴，解得。∴抛物线的函数表达式为：。如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线于点M，那么M为符合条件的点。∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1。∵B〔4，﹣1〕，∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5。∴直线l1的解析式为：y=x﹣5。解方程组，得：，。∴M1〔4，﹣1〕，M2〔﹣2，﹣7〕。〔ii〕存在最大值。理由如下：由〔i〕知PQ=为定值，那么当NP+BQ取最小值时，有最大值。5.〔2022年辽宁盘锦14分〕如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．〔1〕如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；〔2〕如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？假设有，请求出面积的最大值及此时BP长；假设没有，请说明理由．〔3〕有。设BP=x，那么PC=3﹣x，平行四边形PEFC的面积为S，。∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∴当x=时，S最大=。∴当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为。6.〔2022湖北黄石10分〕抛物线C1的函数解析式为，假设抛物线C1经过点，方程的两根为，，且。〔1〕求抛物线C1的顶点坐标.〔2〕实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.〔3〕假设抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，是C2上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。〔参考公式：在平面直角坐标系中，假设，，那么P，Q两点间的距离〕【答案】解：〔1〕∵抛物线过〔０,－３〕点，∴－3a＝－３。∴a＝１。∴ｙ＝x2＋bx－３∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且，∴＝４且b＜０。∴b＝－２。∴。∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为〔１，－４〕。〔2〕∵x＞０，∴∴。当时，即当x＝１时，有。∴Ａ(m，m2)，B〔n，n2〕。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，那么7.〔2022福建泉州14分〕如图，点O为坐标原点，直线绕着点A〔0,2〕旋转，与经过点C〔0,1〕的二次函数交于不同的两点P、Q.〔1〕求h的值；〔2〕通过操作、观察算出△POQ面积的最小值〔不必说理〕；〔3〕过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，假设是，请说明理由；假设不是，请指明其形状.即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。〔3〕判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。8.〔2022广西河池12分〕如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.〔1〕写出点A、点B的坐标；〔2〕假设一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t〔0＜t＜4〕秒，求四边形PBCA的面积S〔面积单位〕与t〔秒〕的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，∴。∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为〔0＜t＜4〕。∵，∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。9.〔2022广西南宁10分〕点A〔3，4〕，点B为直线x=-1上的动点，设B〔－1，y〕．〔1〕如图1，假设点C〔x，0〕且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；〔2〕在〔1〕的条件下，y是否有最大值？假设有，请求出最大值；假设没有，请说明理由；〔3〕如图2，当点B的坐标为〔－1，1〕时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．〔3〕如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，那么此时四边形ABEF的周长最小。∵A〔3，4〕，∴A′〔2，4〕。∵B〔－1，1〕，∴B′〔－1，－1〕。设直线A′B′的解析式为y=kx+b，那么，解得。∴直线A′B′的解析式为。当y=0时，，解得。∴线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为〔，0〕。10.〔2022年四川广安12分〕如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A〔〕，B〔〕，D〔3，0〕．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．假设抛物线经过点D、M、N．〔1〕求抛物线的解析式．〔2〕抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．设直线BG的解析式为，那么，解得。。∴，解得，。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，线段垂直平分线的性质，抛物线的对称性，勾股定理。【分析】〔1〕求出M，N的坐标，由D，M，N的坐标。用待定系数法即可求出抛物线的解析式。〔2〕PA=PC，即AC的垂直平分线与抛物线的交点，据此思路求解即可。〔3〕|QE-QC|最大，根据抛物线的对称性，即|QD-QC|最大，据此求解即可。11.〔2022年四川攀枝花12分〕如图，二次函数y