电路与电子技术第3章

第

3章正弦交流电路

正弦交流电路是指含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。

因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。

本章着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。引言3.1

正弦量的三要素3.1.1频率与周期3.1.2振幅和有效值3.1.3相位、初相、相位差

随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为正弦电压、电流。正弦量：正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。Riab规定电流参考方向如图it0引言正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+振幅角频率初相角正弦量的三要素3.1.1频率与周期描述正弦量变化快慢的参数：

周期(T):变化一个循环所需要的时间，单位(s)。频率(f):单位时间内的周期数

单位(Hz)。角频率(ω):每秒钟变化的弧度数，单位(rad/s)。三者间的关系示为：=2/T=2fωf=1/TTt2ti0ＴT/2

我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。

瞬时值:正弦量任意瞬间的值称为瞬时值，用小字母表示:

i、u、e振幅:正弦量在一个周期内的最大值，用带有下标m的大写字母表示:

Im、Um、Em

有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。用大写字母表示：

I、U、E

3.1.2振幅和有效值描述正弦量数值大小的参数：ti0Ｔ振幅

Im同一时间T内消耗的能量==消耗能量相同=即：则有：

有效值与幅值的关系推导如下：

以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入周期电流

i和直流电流

I。RiRI设代入整理得：或同理：熟记：

可见,周期电流有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的积分取平均值后再开平方，因此有效值又称为方均根值。it0相位：3.1.3相位、初相、相位差正弦量：

称为正弦量的相位角或相位。它表明了正弦量的进程。初相：t=0时的相位角

称为初相角或初相位。（用的角度表示）相位差：同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用表示。若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则正弦量初相位不同。0tiuiu相位差：同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用表示。设正弦量：i和u的相位差为：如果：称I超前u

角。如果：称i滞后u角(如图示）。0tiuiu如果:其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的值刚好是零。0tiuiu称i与u同相位,简称同相。如果:称i与u正交。0tiuiu如果:称i与u反相。同相正交反相

当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位角改变，但相位差不变。

注意例已知正弦电压u的幅值为，频率，初相位（3）画出波形图。。求（1）此电压的周期和角频率；（2）写出电压u的三角函数表达式；解:（1）周期角频率（2）电压的三角函数表达式（3）作波形图，以为横坐标较为方便，的波形如图所示。电压3.2

正弦交流电的相量表示法3.2.1复数及其运算3.2.2相量正弦量的函数式表示：引言0tiui1

i2正弦量的波形图表示：求和：求和：计算过程复杂为简化计算采用一种新的表示方法：相量表示法（用复数表示正弦量）3.2.1复数及其运算设A为复数则：A=a+jb（代数式）其中：a称为复数A的实部，

b称为复数A的虚部。为虚数单位在复平面上可以用一向量表示复数A，如右图：aAb0+1+j模幅角复数的几种形式：（指数式）（三角式）（极坐标式）3.2.2复数运算（熟记公式）加减运算：设则乘法运算：设则除法运算：A=a+jb（代数式）则例

3-4写出复数的模

辐角

（在第四象限）的指数形式为的极坐标形式为解：的指数形式和极坐标形式。自求之

例

3-5已知复数求、解：1.旋转因子（模为1，辐角为的复数）一个复数乘以等于把其逆时针旋转角。

相当于把A逆时针旋转90度+j+1A

称为旋转因子2.正弦量的旋转矢量表示法正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，但在线性电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，计算过程中可以不考虑频率。j2j±=±pe3.2.3正弦量的相量表示法3.正弦量的相量表示

故计算过程中一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。如：

一个复数由模和幅角两个特征量确定。一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。

在分析计算线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，计算时可不必考虑。角频率不变设有正弦电流复数比较得：即：一个正弦量与一个复数可以一一对应。所以可以借助复数计算完成正弦量的计算。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。（最大值相量）（有效值相量）()yw+=tIisinm()yw+=tIisinmψIjme

相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示相量的图称为相量图。

1j0例2.1画出相量图。解：相量图只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上

注意正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。但4.相量图3.2.4同频率正弦相量的运算规则用相量表示正弦量进行交流电路运算的方法称为相量法。

例如，一条支路上有两个同频率的正弦电压，其解析式为求总电压u对于同频率正弦量的求和可按以下步骤进行：、，

（1）已知求解其相量表示、

（2）相量求和计算（或）（或）（3）根据求。

例求：解（1）用相量表示（2）用相量进行计算（3）把相量再表示为正弦量

注意：1.只有对同频率的正弦周期量，才能应用对应的相量来进行代数运算。2.只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。3.正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系（正弦交流电是时间的函数）。4.可推广到多个同频率的正弦量运算。基尔霍夫定律的相量形式3.3

电阻、电感、电容元件的电压电流关系3.3.1电阻元件3.3.2电感元件3.3.3电容元件3.3.1电阻元件1.电压电流的数值关系设：则或

设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。

电阻的电压与电流瞬时值、有效值、最大值都满足欧姆定律。

瞬时值最大值、有效值2.电压电流的相位关系u、i同相uiut0i3.电压电流的相量关系–

+uRi–

+R相量图例在电路中，已知试求电流解：因为

所以

已知

故3.3.2电感元件设：则

设在电感元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。

电感的电压与电流有效值、最大值满足欧姆定律形式。

瞬时值最大值、有效值1.电压电流的数值关系–

+uiL

感抗()

当L一定时,线圈的感抗与频率f成正比。频率越高，感抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。2.电压电流的相位关系u超前i0tiuiu–

+uiLeeU

•I•E

•相量图3.电压电流的相量关系–

+L例已知一个电感L=2H，接在（1）电感元件的感抗；（2）关联参考方向下的流过电感的电流。的电源上。求：解：（1）根据式（3-20），电感元件的感抗为:（2）电压的相量为:根据式（3-19），流过电感电流的相量为:则三、电感元件储存的能量电感L在任一瞬间吸收的功率：电感L在dt时间内吸收的能量：电感L从0到t时间内吸收的能量：设i(0)=0（关联参考方向）P>0吸收能量P<0释放能量即例

电感电流i=100e-0.02tmA,L=0.5H,求其电压表达式、t=0时的电感电压和t=0时的磁场能量。解：

u

、i

参考方向一致时L+–ui3.3.3电容元件设：则

设在电容元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。

电容的电压与电流有效值、最大值满足欧姆定律形式。

瞬时值最大值、有效值1.电压电流的数值关系

当C一定时,电容的容抗与频率f成反比。频率越高，感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。iC

u

容抗()2.电压电流的相位关系i超前uU•I•相量图3.电压电流的相量关系iC

u0tiuiuC

例已知某电容

流过它的电流有效值初相角，试求：（1）容抗（2）电容元件两端的电压（3）画出电压、电流的向量图。解：（1）（2）根据已知条件可知：根据式（3-23）得故：（3）电压、电流相量图

三、电容元件储存的能量（关联参考方向）电容C在任一瞬间吸收的功率：电容C在dt时间内吸收的能量：电容C从0到t时间内吸收的能量：设u(0)=0即P>0吸收能量P<0释放能量

例

电容元件及其参考方向如图所示。已知u=-60sin100t

V，电容储存能量最大值为18J，求电容C的值及t=2π/300

时的电流。iC

u+-解：电压u

的最大值为60V，所以3.4

基尔霍夫定律的相量形式3.4.1基尔霍夫电流定律3.4.2基尔霍夫电压定律1.任一节点电流瞬时值表达式：3.4.1基尔霍夫电流定律2.任一节点电流相量表达式：3.4.2基尔霍夫电压定律1.任一闭合回路电压瞬时值表达式：2.任一闭合回路电压相量表达式：解:

例

图3-18所示正弦交流电路，已知电压u的有效值相量为求电流的相量，并画出电压电流向量图。根据基尔霍夫电流定律有

其相量形式为

电压、电流相量图

图3-18

由于

所以

解:图3-20

例

如图3-20所示电路中，已知电流表

为10A，求电路中电流表A的读数。并联电路设端电压为参考相量，即

电流的参考方向如图所示，则（与电压同相）（超前于电压由KCL得所以电流表A的读数为注意：这与直流电路是不同的，总电流并不是3.5

用相量法分析RLC串联电路3.5.1电压与电流的关系3.5.2电压三角形3.5.3复阻抗3.5.4功率电压电流参考方向如图所示。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+设：可列出电压电流的相量形式为：根据KVL，–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL3.5.1电压与电流的关系

(称为欧姆定律的相量形式)其中称为复阻抗，用符号表示。3.5.2电压三角形相量模型1.相量I•U•UR•UL•Uc•相量图3.有效值UL--UcUUR

电压三角形2.电压三角形构成了直角三角形

3.5.3复阻抗–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL

电路的阻抗()

欧姆定律的相量形式其中：模：阻抗角：阻抗三角形：电压与电流之间的相位差角，由电路参数R、L、C

确定。

电流与电压同相，电路呈阻性。电压超前电流，电路呈电感性；电流超前电压，电路呈电容性；阻抗三角形阻抗角：I•U•UR•UL•Uc•相量图

大于零时的相量图–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL例

R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L=254mH、C=80F，。求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。解:–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+注意：各元件上的电压为瞬时值表达式为–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+1.有功功率P

设无源单口网络的电压、电流参考方向如图，其正弦电压、电流分别为：+N_瞬时功率:有功功率P—平均功率（瞬时功率在一个周期内的平均值）功率因数电压与电流的相位差角3.5.4功率+N_有功功率电阻元件：电感元件：电容元件：2.无功功率Q

电感元件、电容元件实际上不消耗功率，只是和电源之间存在着能量互换，把这种能量交换规模的大小定义为无功功率。无功功率单位：乏(Var)电阻元件：电感元件：电容元件：

电压与电流有效值的乘积定义为视在功率。电气设备的容量：3.视在功率S即视在功率单位（VA）视在功率、有功功率、无功功率三者的关系：功率三角形电压与电流之间的相位差角。例

R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L=254mH、C=80F，。求：电路的有功功率、无功功率、视在功率、功率因数。解:–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+视在功率有功功率无功功率功率因数3.6

复阻抗串联与并联3.6.1复阻抗的串联3.6.2复阻抗的并联3.6.1阻抗的串联

在正弦交流电路中,阻抗用复数形式表示,阻抗的串联与并联的分析方法与电阻的串联与并联的分析方法相同。n个阻抗串联：两个阻抗串联电路的分压公式：ZZ1Z2Zn+–Z1Z2+–+

–两个阻抗并联时，等效阻抗为：分流公式为：3.6.2阻抗的并联n个电阻并联：注意：

对一无源二端网络，端口电压相量与电流相量之比，定义为该网络的阻抗Z。+N_ZZ1Z2Zn–

+Z1Z2例

如图所示电路。已知R1=3、R2=8，

XC=6

、XL=4

，。求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。解:–

+–

+uii1i2相量模型3.7

功率因数的提高3.7.1功率因数提高的意义3.7.2提高功率因数的方法功率因数低的危害1.电源设备的容量不能充分利用2.增加输电线路的功率损耗在P、U一定的情况下，cos越低，I越大，线路损耗越大。，功率因数越低，P越小，设备得不到充分利用（功率因数的高低完全取决于负载的参数）。在电源设备容量一定的情况下用户提高功率因数方法：感性负载采用电容并联补偿。

为此，我国电力行政法规中对用户的功率因数有明确的规定。例当把一台功率P=1.1KW的电动机，接在频率50HZ、电压220V的电路中，电动机需要的电流为10A试求（1）电动机的功率因数；（2）若在电动机的两端并联一只C=79.5微法的电容器,电路的功率因数为多少？C解:L–

+R并联电容后：600IC•I

•U•IC•相量图总电路功率因数提高了，电动机本身的情况没有变化。

小结第3章一、正弦量振幅角频率初相角1.正弦量的三要素:2.相位差：同频率正弦量的相位