第2章模糊数学基础课件

2023/1/91第2章模糊数学基础2023/1/91第2章模糊数学基础12023/1/92概述2.1

经典集合理论2.2

模糊集合及其运算2.3

模糊关系2.4

模糊语言与模糊命题2.5

模糊推理2.62023/1/92概述2.1经典集合理论2.2模糊集合及22023/1/93概述2.1模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。2023/1/93概述2.1模糊数学（模糊集）是模糊控制的数32023/1/94天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低2023/1/94天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个42023/1/952.2.1经典集合的定义及表示方法1.经典集合的概念任给一个性质P，把满足性质P的对象，也仅有具有性质P的对象，汇集起来构成一个集合

经典集合理论2.22023/1/952.2.1经典集合的定义及表示方法1.52023/1/96论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（全域、全集、空间）。英文大写字母U或E表示。元素：论域中的每个对象。英文小写字母a、b、c、…、x、y、z表示。集合：给定论域中具有某种属性的、确定的、彼此可以区别的事物全体。英文大写字母A、B、C、…、X、Y、Z表示。论域、元素与集合之间的关系：论域是元素的全体，集合是论域中部分元素的全体。元素与集合是属于“”或者是不属于“”的关系。2023/1/96论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（62023/1/972.经典集合的表示方法（1）列举法—将集合中的元素一一列出，适用表示元素的有限集合。（2）定义法—通过描述集合中元素的共性定义集合，适用表示元素的有限集合，也适用于不能一一列举元素的集合。（2）特征函数法—利用非此即彼的明晰性表示集合。2023/1/972.经典集合的表示方法（1）列举法—将集72023/1/983.几种特殊的集合（1）全集E—包含论域中的全部元素的集合。（2）空集—不包含任何元素的集合。（3）子集—集合A中的全部元素同时也都是集合B中的元素，则A是B的一个子集：AB。

AB且BA，则称A与B相等，A=B。（4）幂集P(A)—由集合A的所有子集构成的集合。4.经典集合的基本运算（1）并运算（2）交运算（3）补运算（4）差运算2023/1/983.几种特殊的集合（1）全集E—包含论域82023/1/995.经典集合运算的基本性质名称运算法则1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．排中律7．双补律8．同一律A∩E=A，A∪Ф=A，9．零一律A∪E=E，A∩Ф=Ф10.德.摩根律2023/1/995.经典集合运算的基本性质名称运算法则192023/1/9102.2.2关系与映射1.经典关系（1）集合的直积—笛卡尔积有r个集合A1，A2，，Ar，其元素的R元组合a1，a2，，

ar，称为A1，A2，，Ar上的直积（笛卡尔积）。由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y）的集合称为集合X和Y的直积。2023/1/9102.2.2关系与映射1.经典关系（1102023/1/911（2）二元关系定义2-1设X和Y是两个非空集合，集合X和Y的直积XY的一个子集R称为X到Y的一个二元关系（关系）。XY的序偶（x，y），若有（x，y）R，记作xRy；若有（x，y）R，记作xy；若X=Y，，直积XY的子集R称为X上的二元关系。2023/1/911（2）二元关系定义2-1设112023/1/912（3）关系矩阵二元关系R可用二维关系矩阵表示设R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素rij定义为2023/1/912（3）关系矩阵二元关系R可122023/1/9132.等价关系若X上的一个关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称其为等价关系。（1）自反关系关系矩阵中的主对角元素均为1（2）对称关系关系矩阵中rij=rji（3）传递关系关系矩阵中同时具有自反、对称、传递性的关系2023/1/9132.等价关系若X上的一个132023/1/9143.映射关系概念设X和Y为两个不同的集合，对于xX，都存在唯一确定的yY，则称关系R为从X到Y的一个映射对于xX，均有对应的yY；是两个集合X和Y的关系；对于每一个xX，都存在唯一确定的yY与之对应。表示对于元素f对于集合f隶属度2023/1/9143.映射关系概念设X和142023/1/9152.3.1模糊集合的定义及表示方法1.模糊集合的定义定义2－2模糊集合论域U上的模糊集合F是指，对于论域U中的任意元素uU，都指定了[0，1]闭区间中的某个数F(u)[0，1]与之对应，称为u对F的隶属度。即

模糊集合及其运算2.3定义一个映射F：该映射称为模糊集合F的隶属度函数。F2023/1/9152.3.1模糊集合的定义及表示方法1.152023/1/916上述定义表明：（1）论域U上的模糊集合F由隶属度函数F(u)

来表征；（2）F(u)

取值范围为闭区间[0，1]

；（3）F(u)

的大小反映了u对于模糊集合F的从属程度。F(u)

的值接近1，表示u从属于模糊集合F的程度很高，F(u)

的值接近0，表示u从属于模糊集合F的程度很低。模糊集合F完全由隶属度函数所描述。2023/1/916上述定义表明：（1）论域U上的模糊集合F162023/1/917以“年轻、中年、年老”为例说明模糊集合和隶属度函数的概念。年轻－A，中年－B，年老－C他们的论域U都是[1,100]规定隶属度函数为A(u)、B(u)、C(u)2023/1/917以“年轻、中年、年老172023/1/918定义2－3支集模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足F(u)>0的所有的u组成的。定义2－4模糊单点如果模糊集合F的支集在论域U上只包含一个点u0，且F(u0)＝1，则F就称为模糊单点。2023/1/918定义2－3支集模糊集合182023/1/9192.模糊集合的表示方式（1）当论域U为离散有限集u1，u2，…，un时，1）扎德表示法[例2－1]用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。[解]用支集在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念？2023/1/9192.模糊集合的表示方式（1）当论域U为192023/1/9202）序偶表示法将论域U中的元素ui与其隶属度F(ui)构成序偶来表示F，则：[例2－2]用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。[解]2023/1/9202）序偶表示法将论域U中的202023/1/9213）向量表示法将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：注意！式中向量的顺序不能颠倒，隶属度为0的项也不能省略。[例2－3]用向量法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。将三种方法综合2023/1/9213）向量表示法将论域U中的隶属度F(ui212023/1/922（2）当论域U为离散无限域时1）可数情况：扎德表示法其中U=u1，u2，…，un，…，，F(ui)＝F(ui)

2）不可数情况：扎德表示法2023/1/922（2）当论域U为离散无限域时1）可数情况222023/1/923（3）当论域U为连续域时，扎德表示法[例2－4]以年龄为论域，设U＝[0,200]，扎德给出了“年老”O与“年轻”Y两个模糊集合的隶属度函数2023/1/923（3）当论域U为连续域时，扎德表示法[例232023/1/924[解]采用扎德表示法2023/1/924[解]采用扎德表示法242023/1/9252.3.2模糊集合的运算及性质1.模糊集合运算(1)模糊集合的相等两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u)＝B(u)

，则称模糊集合A与模糊集合B相等。(2)模糊集合的包含两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u)B(u)

，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或A是B的子集。2023/1/9252.3.2模糊集合的运算及性质1.252023/1/926(3)模糊空集对所有的元素uU，均有A(u)＝0，则称模糊集合A为模糊空集。(4)模糊全集对所有的元素uU，均有A(u)＝1，则称模糊集合A为模糊全集。(5)模糊集合的补集两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有B(u)=1－A(u)

，则称B为A的补集。2023/1/926(3)模糊空集对所有的262023/1/927(6)模糊集合的并集三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u)＝

A(u)B(u)＝max[A(u),B(u)

]，则称C为A与B的并集。C=A∪B(7)模糊集合的交集三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u)＝

A(u)B(u)＝min[A(u),B(u)

]，则称C为A与B的交集。C=A∩B2023/1/927(6)模糊集合的并集三272023/1/928当论域U是连续有限域时，模糊集合A和B的交、并、补集可以直接写成：2023/1/928当论域U是连续有限域时，282023/1/929[例2－5]设论域U＝[爷、奶、爸、妈]，有模糊集合A=“男人”＝1/爷＋0/奶＋1/爸＋0/妈B=“年轻”＝0.1/爷＋0.2/奶＋0.9/爸＋1/妈求：A∩B＝“年轻的男人”A∪B＝“或者年轻或者是男人”AC＝“不是男人”[解]A∩B＝“年轻的男人”=0.1/爷＋0/奶＋0.9/爸＋0/妈A∪B＝“或者年轻或者是男人”=

1/爷＋0.2/奶＋1/爸＋1/妈AC＝“不是男人”=“女人”＝0/爷＋1/奶＋0/爸＋1/妈2023/1/929[例2－5]设论域U＝[爷、奶、爸、妈]292023/1/930[例2－6]设论域U={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：

求：2023/1/930[例2－6]设论域U={a,b,c,302023/1/9312.模糊集合中的代数运算设论域U上两个模糊集合A和B，可以由模糊隶属度函数进行定义：(1)代数积A·BA·B(u)＝A(u)B(u)(2)代数和A+BA+B(u)＝A(u)＋B(u)－A(u)B(u)(3)有界和ABAB

(u)＝[A(u)＋B(u)

]1(4)有界差ABAB(u)＝[A(u)－B(u)]0－(5)有界积ABAB

(u)＝[A(u)＋B(u)－1]02023/1/9312.模糊集合中的代数运算312023/1/9323.模糊集合运算的基本性质名称运算法则1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．复原律7．对偶律8．两极律A∪E=E，A∩E=A，A∪Ф=A，A∩Ф=Ф2023/1/9323.模糊集合运算的基本性质名称运算法则322023/1/9332.3.3隶属度函数1.隶属函数经典集合的特征函数只能取0和1两种值，与二值逻辑相对应。模糊集合的特征函数取值范围从{0，1}集合扩大到[0，1]区间，与连续逻辑相对应。2.确定隶属函数的原则表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值必须是单调递减的,而不允许有波浪形。2023/1/9332.3.3隶属度函数1.隶属函数经332023/1/934变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的附近隶属函数的范围重叠范围LUA1A2x01.0重叠指数的定义隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域。2023/1/934变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的附342023/1/935对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于1。重叠率＝重叠范围/附近模糊隶属函数的范围重叠鲁棒性＝总的重叠面积/总的重叠最大面积2023/1/935对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶352023/1/936通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后通过“学习”和不断的实践来修整、完善。3.确定隶属函数的方法隶属函数是模糊集合论的基础,如何确定隶属函数是一个关键问题。由于模糊理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的.(1)主观经验法当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种方法比较简单，人们利用专家或者熟练技工的经验来建立隶属函数。例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函数。2023/1/936通常的方法是，初步确立粗略的隶属362023/1/937(2)模糊统计法根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。

对模糊集A的隶属度=

其基本思想是：论域U上的一个确定的元素u0是否属于一个可变动的清晰集合Aλ，作出清晰的判断。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uu0随着N的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是u0对A的隶属度。2023/1/937(2)模糊统计法对模糊集372023/1/938通常，和都服从正态分布

(3)三分法建立“矮个子”，“中等个子”和“高个子”三个模糊集的隶属函数。取论域U=（0，3）（单位：米），每一个模糊试验确定论域的一次划分，每次划分确定一对数(，)，是矮个子与中等个子的分界点，是中等个子与高个子的分界点。2023/1/938通常，和都服从正态分布(3)三分382023/1/9394.模糊控制中典型的隶属函数(1)高斯型隶属函数由参数和c确定,其中参数通常为正，参数c用于确定曲线的中心。2023/1/9394.模糊控制中典型的隶属函数(1)高斯392023/1/940(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为2023/1/940(2)广义钟型隶属函数其中参数402023/1/941(3)S形隶属函数

S形函数sigmf(x,[ac])由参数a和c决定：

其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为2023/1/941(3)S形隶属函数其中参412023/1/942（4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定。其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。Matlab表示为2023/1/942（4）梯形隶属函数其中参数a和d确定梯形422023/1/943(5)三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。Matlab表示为2023/1/943(5)三角形隶属函数其中参432023/1/944（6）Z形隶属函数这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为2023/1/944（6）Z形隶属函数Matlab表示为442023/1/945普通关系表示事物间是否存在关联。模糊关系则描述事物间对于某一模糊概念上的关联程度。1.模糊关系的定义定义2－5集合的直积由两个集合U与V的各自元素uU及vV构成的序偶（u，v）的集合，称为U与V的直积。(笛卡尔积)注意！

模糊关系2.42023/1/945普通关系表示事物间是否存在关联。模糊关452023/1/946定义2－6模糊关系由两个非空集合U与V之间的直积U×V={(u,v)|uU,vV}中的模糊集合R被称为U到V的模糊关系，又称为二元关系。其特性可由隶属度函数来描述。隶属度函数R(u,v)表示序偶(u,v)的隶属程度，也描述了(u,v)间具有关系R的量级。在论域U=V时，称R为U上的模糊关系。当论域为n个集合Ui(i=1,2,…,n)的直积U1×U2×…×Un时，它们所对应的模糊关系R被称为n元模糊关系。2023/1/946定义2－6模糊关系由两462023/1/947

[例2－7]医学上用体重(kg)＝身高(cm)－100表示人的标准体重，这是身高U与体重V的二元关系。设：U=[140,150,160,170,180]V=[40,50,60,70,80]R表示身高和体重接近标准关系的程度，这是从U到V的一个模糊关系。R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.812023/1/947[例2－7]医学上用体重(kg)＝身高472023/1/9482.模糊关系表示方法（1）当X×Y为连续有限域时，二元模糊关系R的模糊集合表示方法为n元模糊关系R的模糊集合表示方法为2023/1/9482.模糊关系表示方法（1）当X×Y为连482023/1/949R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81在u[140,160]、v[40,50]时，用模糊集合表示为2023/1/949R(u,v)4050607080140492023/1/950（2）模糊矩阵表示法当是有限集合时，X×Y的模糊关系R可用m×n阶矩阵表示。2023/1/950（2）模糊矩阵表示法当502023/1/951R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81在u[140,180]、v[40,80]时，用模糊矩阵表示为2023/1/951R(u,v)4050607080140512023/1/952（3）模糊图表示法[例2－8]设模糊关系R用模糊矩阵表示为模糊关系图模糊流通图2023/1/952（3）模糊图表示法[例2－8]设模糊关522023/1/953[例2－9]设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试成绩如下表：

取隶属函数，其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个X×Y上的一个模糊关系R。2023/1/953[例2－9]设有一组同学X，X={张三，532023/1/954写成矩阵形式：考试成绩表的模糊化用关系图来表示：2023/1/954写成矩阵形式：考试成绩表的模糊化用关系图542023/1/9553.模糊关系的合成两种模糊关系可以组成一种合成关系。定义2－7模糊关系的合成设有三个论域U、V、W，Q是U到V的一个模糊关系，R是V到W的一个模糊关系，Q对R的合成QοR称为U到W的一个模糊关系，其算法为：

当论域U、V、W，为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。假设Q、R、S三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为：2023/1/9553.模糊关系的合成两种模糊关系可以组成552023/1/956用模糊矩阵的合成QοR＝S表示模糊关系的合成QοR＝S[例2－10]设

则A和B的合成为：其中当时，有2023/1/956用模糊矩阵的合成QοR＝S562023/1/957⑴QοR＝S表示模糊关系的合成，式中的“ο”表示最大－最小运算。⑵运算中，Q的列数与R的行数必须相同，否则，合成运算无意义。⑶不能用模糊矩阵表达的模糊关系也可以进行合成运算，并且遵照最大、最小原则。设R、S为X×Y和Y×Z上的模糊关系，不能用矩阵表示时，其隶属度函数为R(x,y)及S(y,z)，则RοS的隶属度函数为：注意2023/1/957⑴QοR＝S表示模糊关系的合成572023/1/958定义2－8设RU×V，SV×W，TW×Z，则模糊矩阵合成具有下列性质：⑴结合律

Rο(SοT)＝(RοS)οT⑵分配律Rο(S∪T)＝(RοS)∪(RοT)(S∪T)ο

R

＝(S

ο

R)∪(Tο

R)Rο(S∩T)＝(RοS)∩(RοT)(S∩T)ο

R

＝(S

ο

R)∩(TοR)⑶包含若ST，则

RοS

RοT⑷逆(RοS)T

＝STο

RT⑸

RοE＝Eο

R＝R⑹

Rο0＝0ο

R＝0⑺Rm+1＝RmοR，Rmο

Rn＝Rm+n，(Rm)n=Rmn，R0＝E2023/1/958定义2－8设RU×V，SV×W，582023/1/959定义2－9模糊向量的笛卡儿积设已知两个模糊行向量Q和R，它们的笛卡尔积定义为[例2－11]两个模糊行向量Q=[0.30.10.5]和R=[0.80.50.20.6]，求它们的笛卡尔积[解]2023/1/959定义2－9模糊向量的笛卡儿积592023/1/9601.模糊语言变量

带有模糊性的语言称为模糊语言，模糊性主要体现在语音、语义、语法等方面。语言变量是由五元体(U，N，T(N)，G，M)定义的。N—语言变量的名称U—是N的论域T(N)—语言变量N的语言值X的集合G—语法规则M—语义规则

模糊语言与模糊命题2.52023/1/9601.模糊语言变量带有模糊602023/1/961

2.语言值语言系统中，与数值有直接联系的词，或者由它们再加上语言算子而派生出来的词组称为语言值。以年龄为语言变量的五元体结构图2023/1/9612.语言值语言系统612023/1/9623.语法规则(1)语气算子Hλ－用于加强或减弱语气的词。用来加强语气的为“强化算子”，用来减弱语气的称为“淡化算子”。HλT(n)=[T(n)]λλ为正实数，λ＞1时，Hλ为强化算子；λ＜1时，Hλ为淡化算子。(2)模糊化算子－用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化。(3)判断化算子Pa

－用来化模糊为趋向清晰，在模糊中给以粗糙的判断。一般表示形式为PaT(n)=Pa[T(n)]当n≤a当a＜n≤1-a(0＜a≤0.5)当n＞1-a2023/1/9623.语法规则(1)语气算子Hλ－用于加622023/1/9634.模糊命题模糊命题指含有模糊概念，具有某种真实程度的陈述句。表征模糊命题真实程度的量叫模糊命题的真值。一般形式为P：“x是A（xisA）”模糊命题的真值，由x对模糊集合A的隶属程度表示(1)简单模糊条件语句ifAthenBA表示x是a，B表示y是b

，

若x是a，则y是b，其中x、y均为语言变量，a、b分别为语言变量的值。(2)多重简单模糊条件语句ifAthenBelscC(3)双重模糊条件语句ifAandBthenC2023/1/9634.模糊命题模糊命题指含632023/1/964

模糊推理2.61.基本概念根据已知条件求未知结果的思维过程就是推理。解决模糊性问题就需要用模糊推理。模糊推理是一种以模糊判断为前提，运用模糊语言规则，推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。2023/1/964模糊推理2.61.基本概念642023/1/965给定模糊关系“若A则B”,AX，BY，已知某一个A′，A′X，求从模糊关系能推断出什么样的结论B′？广义取式(肯定前提)推理广义拒式(肯定结论)推理给定模糊关系“若A则B”，AX，BY，已知某一个B′，B′Y，求从模糊关系能推断出什么样的结论A′？2023/1/965给定模糊关系“若A则B”,AX，B652023/1/9662.模糊推理规则广义取式推理：大前提：如果x为A，则y为B

小前提：x为A′结论：y为B′广义拒式推理：前提１：y为B′前提２：如果x为A，则y为B结论：x为A′B’＝A’oRA’＝RoB’

R如何得到(1)Zadeh法设模糊控制规则（模糊蕴含关系)“若A则B”用A→B表示，且AX，BY，则A→B是X×Y上的一个模糊关系，即：(A→B)(x,y)≡R(x,y)X×YR(x,y)=(A(x)B(y))(1-A(x))2023/1/9662.模糊推理规则广义取式推理：大前提：662023/1/9671)模糊取式推理（FuzzyModusPonensFMP）已知模糊蕴含关系A→B的关系矩阵R，对于给定的A’，A’X，则可推得结论B’，B’Y，B’＝A’oR“o”表示合成运算B’＝sup{A’∧[(A∧B)∨(１－A)]}2023/1/9671)模糊取式推理（FuzzyModus672023/1/9682)模糊拒式推理（FuzzyModusTollens,FMT）已知模糊蕴含关系A→B的关系矩阵R，对于给定的B’，B’Y，则可推得结论A’，A’X，A’＝RoB’

A’＝sup{[A∧B∨(１－A)]∧B’}2023/1/9682)模糊拒式推理（FuzzyModus682023/1/969(2)Mamdani法模糊蕴含关系A→B用A和B的直积表示(A→B)(x,y)≡R(x,y)X×YR(x,y)=A(x)∧B(y)1)模糊取式推理（FMP）已知模糊蕴含关系A→B的关系矩阵R，对于给定的A’，A’X，则可推得结论B’，B’Y，B’＝sup{A’∧(A∧B)}2)模糊拒取式推理（FMT）已知模糊蕴含关系A→B的关系矩阵R，对于给定的B’，B’Y，则可推得结论A’，A’X，A’＝sup{(A∧B)∧B’}2023/1/969(2)Mamdani法模糊蕴含关系A→692023/1/9703.模糊条件推理设A为论域X上的模糊集合，B和C分别为论域Y上的2个模糊集合，其对应的隶属函数为A(x)、B(y)、C(y)，在X×Y上描述模糊条件语句“ifxisAthenyisBelscyisC”的二元模糊关系R＝(A→B)∪(Ac→C)用mamdani法定义其隶属函数为可用模糊向量的笛卡尔积表示模糊关系RR＝(A×B)∪(Ac×C)根据已知的输入模糊集合A’及R，可求得与A’对应的B’B’＝A’οR2023/1/9703.模糊条件推理设A为论702023/1/9714.双输入模糊推理设A、B分别为论域X、Y上的模糊集合，C为论域Z上的模糊集合，其对应的隶属函数为A(x)、B(y)、C(z)，在X×Y×Z上描述模糊条件语句“ifxisAandyisBthenzisC”的三元模糊关系R＝(A×B)→C，即R＝A×B×C用mamdani法定义其隶属函数为可用模糊向量的笛卡儿积表示模糊关系RR＝(A×B)T1×C根据已知的输入模糊集合A’和B’及R，可求得与A’、B’对应的C’C’＝(A’×B’)T1οR2023/1/9714.双输入模糊推理设A、712023/1/972[例2－12]利用Zadeh法确定“若x小则y大”的模糊关系，当x较小时，则y如何？设论域X＝Y＝[1，2，3，4，5]小＝1/1+0.5/2较小＝1/1+0.4/2+0.2/3大＝0.5/4+1/52023/1/972[例2－12]利用Zadeh法确定“若x722023/1/973[例2－13]设x表示温度，y表示压力，利用Mamdani法确定“如果温度高则压力大”的模糊关系，当温度较高时，相应的压力如何？设论域X＝[0,20,40,60,80,100]，Y[1,2,3,4,5,6,7]A＝温度高＝0/0+0.1/20+0.3/40+0.6/60+0.85/80+1/100B＝压力大＝0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+1/7A’＝温度较高＝0.1/0+0.15/20+0.4/40+0.75/60+1/80+0.8/1002023/1/973[例2－13]设x表示温度，y表示压力，732023/1/974[例2－14]设x表示转速，y表示控制电压，利用Mamdani法确定“若转速高，则控制电压大，否则控制电压不很大”的关系。现在转速不很高，问相应的控制电压如何？设论域X＝[100,200,300,400,500]，Y＝[1,2,3,4,5]A＝转速高＝0/100+0/200+0/300+0.5/400+1/500B＝控制电压大＝0/1+0/2+0/3+0.5/4+1/52023/1/974[例2－14]设x表示转速，y表示控制电742023/1/975[例2－15]已知论域X＝{x1,x2}，Y＝{y1,y2,y3}和Z＝{z1,z2}设有模糊集合A＝0.8/x1＋0.5/x2B＝0.2/y1+0.5/y2+1/y3C＝0.3/z1＋1/z2确定由规则“ifxisAandyisBthenzisC”的三元模糊关系R。计算当输入A’＝0.6/x1＋0.1/x2B’＝0.4/y1+0.2/y2+0/y3时输出的C’2023/1/975[例2－15]已知论域X＝{x1,x2}752023/1/976第2章模糊数学基础2023/1/91第2章模糊数学基础762023/1/977概述2.1

经典集合理论2.2

模糊集合及其运算2.3

模糊关系2.4

模糊语言与模糊命题2.5

模糊推理2.62023/1/92概述2.1经典集合理论2.2模糊集合及772023/1/978概述2.1模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。2023/1/93概述2.1模糊数学（模糊集）是模糊控制的数782023/1/979天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低2023/1/94天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个792023/1/9802.2.1经典集合的定义及表示方法1.经典集合的概念任给一个性质P，把满足性质P的对象，也仅有具有性质P的对象，汇集起来构成一个集合

经典集合理论2.22023/1/952.2.1经典集合的定义及表示方法1.802023/1/981论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（全域、全集、空间）。英文大写字母U或E表示。元素：论域中的每个对象。英文小写字母a、b、c、…、x、y、z表示。集合：给定论域中具有某种属性的、确定的、彼此可以区别的事物全体。英文大写字母A、B、C、…、X、Y、Z表示。论域、元素与集合之间的关系：论域是元素的全体，集合是论域中部分元素的全体。元素与集合是属于“”或者是不属于“”的关系。2023/1/96论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（812023/1/9822.经典集合的表示方法（1）列举法—将集合中的元素一一列出，适用表示元素的有限集合。（2）定义法—通过描述集合中元素的共性定义集合，适用表示元素的有限集合，也适用于不能一一列举元素的集合。（2）特征函数法—利用非此即彼的明晰性表示集合。2023/1/972.经典集合的表示方法（1）列举法—将集822023/1/9833.几种特殊的集合（1）全集E—包含论域中的全部元素的集合。（2）空集—不包含任何元素的集合。（3）子集—集合A中的全部元素同时也都是集合B中的元素，则A是B的一个子集：AB。

AB且BA，则称A与B相等，A=B。（4）幂集P(A)—由集合A的所有子集构成的集合。4.经典集合的基本运算（1）并运算（2）交运算（3）补运算（4）差运算2023/1/983.几种特殊的集合（1）全集E—包含论域832023/1/9845.经典集合运算的基本性质名称运算法则1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．排中律7．双补律8．同一律A∩E=A，A∪Ф=A，9．零一律A∪E=E，A∩Ф=Ф10.德.摩根律2023/1/995.经典集合运算的基本性质名称运算法则1842023/1/9852.2.2关系与映射1.经典关系（1）集合的直积—笛卡尔积有r个集合A1，A2，，Ar，其元素的R元组合a1，a2，，

ar，称为A1，A2，，Ar上的直积（笛卡尔积）。由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y）的集合称为集合X和Y的直积。2023/1/9102.2.2关系与映射1.经典关系（1852023/1/986（2）二元关系定义2-1设X和Y是两个非空集合，集合X和Y的直积XY的一个子集R称为X到Y的一个二元关系（关系）。XY的序偶（x，y），若有（x，y）R，记作xRy；若有（x，y）R，记作xy；若X=Y，，直积XY的子集R称为X上的二元关系。2023/1/911（2）二元关系定义2-1设862023/1/987（3）关系矩阵二元关系R可用二维关系矩阵表示设R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素rij定义为2023/1/912（3）关系矩阵二元关系R可872023/1/9882.等价关系若X上的一个关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称其为等价关系。（1）自反关系关系矩阵中的主对角元素均为1（2）对称关系关系矩阵中rij=rji（3）传递关系关系矩阵中同时具有自反、对称、传递性的关系2023/1/9132.等价关系若X上的一个882023/1/9893.映射关系概念设X和Y为两个不同的集合，对于xX，都存在唯一确定的yY，则称关系R为从X到Y的一个映射对于xX，均有对应的yY；是两个集合X和Y的关系；对于每一个xX，都存在唯一确定的yY与之对应。表示对于元素f对于集合f隶属度2023/1/9143.映射关系概念设X和892023/1/9902.3.1模糊集合的定义及表示方法1.模糊集合的定义定义2－2模糊集合论域U上的模糊集合F是指，对于论域U中的任意元素uU，都指定了[0，1]闭区间中的某个数F(u)[0，1]与之对应，称为u对F的隶属度。即

模糊集合及其运算2.3定义一个映射F：该映射称为模糊集合F的隶属度函数。F2023/1/9152.3.1模糊集合的定义及表示方法1.902023/1/991上述定义表明：（1）论域U上的模糊集合F由隶属度函数F(u)

来表征；（2）F(u)

取值范围为闭区间[0，1]

；（3）F(u)

的大小反映了u对于模糊集合F的从属程度。F(u)

的值接近1，表示u从属于模糊集合F的程度很高，F(u)

的值接近0，表示u从属于模糊集合F的程度很低。模糊集合F完全由隶属度函数所描述。2023/1/916上述定义表明：（1）论域U上的模糊集合F912023/1/992以“年轻、中年、年老”为例说明模糊集合和隶属度函数的概念。年轻－A，中年－B，年老－C他们的论域U都是[1,100]规定隶属度函数为A(u)、B(u)、C(u)2023/1/917以“年轻、中年、年老922023/1/993定义2－3支集模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足F(u)>0的所有的u组成的。定义2－4模糊单点如果模糊集合F的支集在论域U上只包含一个点u0，且F(u0)＝1，则F就称为模糊单点。2023/1/918定义2－3支集模糊集合932023/1/9942.模糊集合的表示方式（1）当论域U为离散有限集u1，u2，…，un时，1）扎德表示法[例2－1]用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。[解]用支集在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念？2023/1/9192.模糊集合的表示方式（1）当论域U为942023/1/9952）序偶表示法将论域U中的元素ui与其隶属度F(ui)构成序偶来表示F，则：[例2－2]用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。[解]2023/1/9202）序偶表示法将论域U中的952023/1/9963）向量表示法将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：注意！式中向量的顺序不能颠倒，隶属度为0的项也不能省略。[例2－3]用向量法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“几个”这一模糊概念。将三种方法综合2023/1/9213）向量表示法将论域U中的隶属度F(ui962023/1/997（2）当论域U为离散无限域时1）可数情况：扎德表示法其中U=u1，u2，…，un，…，，F(ui)＝F(ui)

2）不可数情况：扎德表示法2023/1/922（2）当论域U为离散无限域时1）可数情况972023/1/998（3）当论域U为连续域时，扎德表示法[例2－4]以年龄为论域，设U＝[0,200]，扎德给出了“年老”O与“年轻”Y两个模糊集合的隶属度函数2023/1/923（3）当论域U为连续域时，扎德表示法[例982023/1/999[解]采用扎德表示法2023/1/924[解]采用扎德表示法992023/1/91002.3.2模糊集合的运算及性质1.模糊集合运算(1)模糊集合的相等两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u)＝B(u)

，则称模糊集合A与模糊集合B相等。(2)模糊集合的包含两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有A(u)B(u)

，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或A是B的子集。2023/1/9252.3.2模糊集合的运算及性质1.1002023/1/9101(3)模糊空集对所有的元素uU，均有A(u)＝0，则称模糊集合A为模糊空集。(4)模糊全集对所有的元素uU，均有A(u)＝1，则称模糊集合A为模糊全集。(5)模糊集合的补集两个模糊集合A和B，若对所有元素uU，均有B(u)=1－A(u)

，则称B为A的补集。2023/1/926(3)模糊空集对所有的1012023/1/9102(6)模糊集合的并集三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u)＝

A(u)B(u)＝max[A(u),B(u)

]，则称C为A与B的并集。C=A∪B(7)模糊集合的交集三个模糊集合A、B、C，若对所有元素uU，均有C(u)＝

A(u)B(u)＝min[A(u),B(u)

]，则称C为A与B的交集。C=A∩B2023/1/927(6)模糊集合的并集三1022023/1/9103当论域U是连续有限域时，模糊集合A和B的交、并、补集可以直接写成：2023/1/928当论域U是连续有限域时，1032023/1/9104[例2－5]设论域U＝[爷、奶、爸、妈]，有模糊集合A=“男人”＝1/爷＋0/奶＋1/爸＋0/妈B=“年轻”＝0.1/爷＋0.2/奶＋0.9/爸＋1/妈求：A∩B＝“年轻的男人”A∪B＝“或者年轻或者是男人”AC＝“不是男人”[解]A∩B＝“年轻的男人”=0.1/爷＋0/奶＋0.9/爸＋0/妈A∪B＝“或者年轻或者是男人”=

1/爷＋0.2/奶＋1/爸＋1/妈AC＝“不是男人”=“女人”＝0/爷＋1/奶＋0/爸＋1/妈2023/1/929[例2－5]设论域U＝[爷、奶、爸、妈]1042023/1/9105[例2－6]设论域U={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：

求：2023/1/930[例2－6]设论域U={a,b,c,1052023/1/91062.模糊集合中的代数运算设论域U上两个模糊集合A和B，可以由模糊隶属度函数进行定义：(1)代数积A·BA·B(u)＝A(u)B(u)(2)代数和A+BA+B(u)＝A(u)＋B(u)－A(u)B(u)(3)有界和ABAB

(u)＝[A(u)＋B(u)

]1(4)有界差ABAB(u)＝[A(u)－B(u)]0－(5)有界积ABAB

(u)＝[A(u)＋B(u)－1]02023/1/9312.模糊集合中的代数运算1062023/1/91073.模糊集合运算的基本性质名称运算法则1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．复原律7．对偶律8．两极律A∪E=E，A∩E=A，A∪Ф=A，A∩Ф=Ф2023/1/9323.模糊集合运算的基本性质名称运算法则1072023/1/91082.3.3隶属度函数1.隶属函数经典集合的特征函数只能取0和1两种值，与二值逻辑相对应。模糊集合的特征函数取值范围从{0，1}集合扩大到[0，1]区间，与连续逻辑相对应。2.确定隶属函数的原则表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值必须是单调递减的,而不允许有波浪形。2023/1/9332.3.3隶属度函数1.隶属函数经1082023/1/9109变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的附近隶属函数的范围重叠范围LUA1A2x01.0重叠指数的定义隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域。2023/1/934变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的附1092023/1/9110对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于1。重叠率＝重叠范围/附近模糊隶属函数的范围重叠鲁棒性＝总的重叠面积/总的重叠最大面积2023/1/935对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶1102023/1/9111通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后通过“学习”和不断的实践来修整、完善。3.确定隶属函数的方法隶属函数是模糊集合论的基础,如何确定隶属函数是一个关键问题。由于模糊理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的.(1)主观经验法当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种方法比较简单，人们利用专家或者熟练技工的经验来建立隶属函数。例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函数。2023/1/936通常的方法是，初步确立粗略的隶属1112023/1/9112(2)模糊统计法根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。

对模糊集A的隶属度=

其基本思想是：论域U上的一个确定的元素u0是否属于一个可变动的清晰集合Aλ，作出清晰的判断。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uu0随着N的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是u0对A的隶属度。2023/1/937(2)模糊统计法对模糊集1122023/1/9113通常，和都服从正态分布

(3)三分法建立“矮个子”，“中等个子”和“高个子”三个模糊集的隶属函数。取论域U=（0，3）（单位：米），每一个模糊试验确定论域的一次划分，每次划分确定一对数(，)，是矮个子与中等个子的分界点，是中等个子与高个子的分界点。2023/1/938通常，和都服从正态分布(3)三分1132023/1/91144.模糊控制中典型的隶属函数(1)高斯型隶属函数由参数和c确定,其中参数通常为正，参数c用于确定曲线的中心。2023/1/9394.模糊控制中典型的隶属函数(1)高斯1142023/1/9115(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为2023/1/940(2)广义钟型隶属函数其中参数1152023/1/9116(3)S形隶属函数

S形函数sigmf(x,[ac])由参数a和c决定：

其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为2023/1/941(3)S形隶属函数其中参1162023/1/9117（4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定。其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。Matlab表示为2023/1/942（4）梯形隶属函数其中参数a和d确定梯形1172023/1/9118(5)三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。Matlab表示为2023/1/943(5)三角形隶属函数其中参1182023/1/9119（6）Z形隶属函数这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为2023/1/944（6）Z形隶属函数Matlab表示为1192023/1/9120普通关系表示事物间是否存在关联。模糊关系则描述事物间对于某一模糊概念上的关联程度。1.模糊关系的定义定义2－5集合的直积由两个集合U与V的各自元素uU及vV构成的序偶（u，v）的集合，称为U与V的直积。(笛卡尔积)注意！

模糊关系2.42023/1/945普通关系表示事物间是否存在关联。模糊关1202023/1/9121定义2－6模糊关系由两个非空集合U与V之间的直积U×V={(u,v)|uU,vV}中的模糊集合R被称为U到V的模糊关系，又称为二元关系。其特性可由隶属度函数来描述。隶属度函数R(u,v)表示序偶(u,v)的隶属程度，也描述了(u,v)间具有关系R的量级。在论域U=V时，称R为U上的模糊关系。当论域为n个集合Ui(i=1,2,…,n)的直积U1×U2×…×Un时，它们所对应的模糊关系R被称为n元模糊关系。2023/1/946定义2－6模糊关系由两1212023/1/9122

[例2－7]医学上用体重(kg)＝身高(cm)－100表示人的标准体重，这是身高U与体重V的二元关系。设：U=[140,150,160,170,180]V=[40,50,60,70,80]R表示身高和体重接近标准关系的程度，这是从U到V的一个模糊关系。R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.1