习题word版：第一章 三角形的证明

第一章三角形的证明1．1等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质根底题知识点1全等三角形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.假设AB＝6，AC＝4，BC＝5，那么AD的长为(B)A．4 B．5 C．6 D．以上都不对2．如图，假设能用AAS来判定△ACD≌△ABE，那么需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，那么∠B＝120°．4．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，那么DF＝6．5．(教材P4习题T1变式)将下面证明中每一步的理由写在括号内．：如图，∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：AD＝BC.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，()∴∠CAB＋∠DAC＝∠DBA＋∠CBD，即∠DAB＝∠CBA.(等量代换)在△ADB和△BCA中，∵∠DBA＝∠CAB()，AB＝BA()，∠DAB＝∠CBA(已证)，∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC(全等三角形的对应边相等)．6．(2022·黄冈)：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.在△BAD和△NAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，))∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知识点2等腰三角形的性质7．(2022·淮安改编)假设等腰三角形的顶角为50°，那么它的底角度数为(D)A．40° B．50° C．60° D．65°8．等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，那么此三角形的周长为(D)A．13 B．14 C．15 D．13或149．(2022·兰州)如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，那么∠2的度数是(A)A．50° B．60° C．65° D．70°10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.假设AB＝6，CD＝4，那么△ABC的周长是20．易错点1未考虑三角形的三边关系致错11．实数x，y满足|x－4|＋eq\r(y－8)＝0，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(B)A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对易错点2忽略等腰三角形的顶角为钝角的情况致错12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，那么∠B等于70°或20°．中档题13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，那么以下结论错误的选项是(C)A．AB＝AC B．AD平分∠BACC．AB＝BC D．∠BAC＝90°14．(2022·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．假设AB＝AC，∠CAD＝20°，那么∠ACE的度数是(B)A．20° B．35° C．40° D．70°15．(2022·遵义)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．假设∠CAE＝16°，那么∠B为37°．16．如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组加以证明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEF＝∠CEB，,AE＝CE，,∠EAF＝∠ECB，))∴△AEF≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.综合题18．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，那么∠DCE＝110°；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如图1，∠DCE＝90°－eq\f(1,2)n°；②如图2，∠DCE＝90°＋eq\f(1,2)n°；③如图3，∠DCE＝eq\f(1,2)n°；④如图4，∠DCE＝eq\f(1,2)n°.

第2课时等边三角形的性质根底题知识点1等腰三角形相关线段的性质1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．假设BD＝5，那么CE＝5．2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：BD＝CE.证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴BD＝CE.知识点2等边三角形的性质3．如图，△ABC是等边三角形，那么∠1＋∠2＝(C)A．60° B．90° C．120° D．180°4．(2022·湘潭)如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，那么∠BAD＝30°．5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，那么∠CBD＝120°．6．如图，在等边△ABC中，AD为高．假设AB＝6，那么CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如下图，那么y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.假设∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，AD为∠BAC的平分线．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠BAE＝∠BAD，,AB＝AB，))∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.中档题10．(2022·福建)如图，等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，那么∠ACE等于(A)A．15° B．30° C．45° D．60°11．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，那么∠AMD的度数为(B)A．45° B．60° C．75° D．90°12．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，那么∠BOC的度数是120°．13．如图，等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，那么∠EFD＝45°．14．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO为∠BAE的平分线，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE，,∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.15．(教材P7习题T3变式)如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM的度数．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABM＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.综合题16．，如下图，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，那么h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜测并加以证明．解：猜测：h1＋h2＋h3＝h.证明如下：连接PA，PB，PC.∵S△PAB＝eq\f(1,2)AB·h1，S△PAC＝eq\f(1,2)AC·h2，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·h3，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h，S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC，∴eq\f(1,2)AB·h1＋eq\f(1,2)AC·h2＋eq\f(1,2)BC·h3＝eq\f(1,2)BC·h.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.∴h1＋h2＋h3＝h.

第3课时等腰三角形的判定与反证法根底题知识点1等腰三角形的判定1．在△ABC中，∠B＝∠C，那么(B)A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，那么△ABC一定是(C)A．任意三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4．(2022·西安月考)以下能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为135．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.假设OD＝3cm，那么CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，假设添加以下条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．7．：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知识点2反证法8．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角〞第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．：等腰△ABC中，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐角．证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，那么∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，那么∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形的底角必定为锐角．10．用反证法证明：直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，那么过M点有两条直线平行于直线c，这与“过直线外一点平行于直线的直线有且只有一条〞相矛盾，所以假设不成立，即a∥b.易错点找点的标准不明确致错11．(2022·西安月考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，2)在第一象限，点P在x轴上．假设以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么满足条件的点P共有(C)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个中档题12．(2022·郑州月考)，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.假设BD＋CE＝5，那么线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．813．在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.假设用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．14．(2022·邵阳)如下图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．假设AE＝eq\r(3)，那么BC的长是eq\r(3)．15．(2022·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△BDE是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE.(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明理由；(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC〞改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD＝DE是正确的．理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)可改为：BD⊥AC(或点D为AC中点)．理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.综合题17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大〞或“小〞)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？假设可以，请直接写出∠BDA的度数；假设不可以，请说明理由．解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.

第4课时等边三角形的判定根底题知识点1等边三角形的判定1．在△ABC中，假设AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC是(B)A．等腰三角形 B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定2．以下说法不正确的选项是(D)A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形D．有一个角为60°的三角形是等边三角形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，那么AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，那么拼接后的△ABD的形状是等边三角形．5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，假设衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，那么此时A，B两点之间的距离是18cm.6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．知识点2含30°角的直角三角形的性质7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，那么BC＝(C)A．8 B．6 C．4 D．28．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么BC∶AB等于(B)A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.假设CD＝1，那么BD＝2．10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝米，自动扶梯的倾角为30°，假设自动扶梯运行速度为v＝米/秒，那么顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，那么B区距铁路AC的距离为10千米．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8cm，求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于点D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝eq\f(1,2)BC＝4cm.∴AD＝AB－DB＝12cm.中档题13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，CD＝1，∠B＝30°，那么BD的长是(B)A．1 B．2 \r(3) D．2eq\r(3)14．(2022·玉林)如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，那么BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直15．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.假设MN＝2，那么OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．616．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，那么DE的长为(B)\f(1,3) \f(1,2) \f(2,3) D．不能确定17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF.(1)求证：△AED是等边三角形；(2)假设AB＝2，那么四边形AEDF的周长是4．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC边的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD＝eq\f(1,2)AB.∵点E为AB的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等边三角形．综合题18．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)假设点E在BC的延长线上，那么在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(注：假设在CD的延长线上取点F，使CE＝DF也可)

小专题1等腰三角形中常见的数学思想思想方法1分类讨论思想类型1针对腰长和底边长进行分类1．等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，那么它的周长是(D)A．14 B．23 C．19 D．19或232．假设实数x，y满足|x－5|＋eq\r(y－10)＝0，那么以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．3．等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和12cm两局部，那么这个三角形的腰长和底边长分别为6__cm和9__cm或8__cm和5__cm．类型2针对顶角和底角进行分类4．假设等腰三角形中有一个角等于70°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是(C)A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°5．一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，那么这个等腰三角形顶角的度数为120°或20°．6．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，那么该等腰三角形各内角的度数为45°，45°，90°或36°，72°，72°．7．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①假设的这个角为顶角，那么底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②假设的这个角为底角，那么一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类8．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，那么底角∠B等于(C)A．20° B．60°或20°C．65°或25° D．60°9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，那么其底边上的高是3或3eq\r(3)．10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．解：分两种情况讨论：①假设∠A＜90°，如图1所示．∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－54°)＝63°.②假设∠A＞90°，如图2所示．同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)∠DAB＝27°.综上所述：等腰三角形底角的度数为63°或27°.类型4确定等腰三角形的数目11．平面直角坐标系中，A(2，2)，B(4，0)．假设在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，那么满足条件的点C的个数是(A)A．5 B．6 C．7 D．812．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，那么符合条件在点P共有(B)A．7个 B．6个 C．5个 D．4个类型5等腰三角形中的动点问题13．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝eq\f(10,3)或10s时，△POQ是等腰三角形．14．O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，假设AF＝1，求BE的长．解：当F点在线段DA的延长线上时，如图1，过点O作OM∥AB交AD于点M，∵O为等边△ABD的边BD的中点，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM为等边三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.当F点在线段AD上时，如图2，同理可证△OMF≌△OBE，那么BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.

思想方法2方程思想15．(2022·西安月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，那么∠A的度数为(B)A．30° B．36° C．45° D．70°16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．解：设∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEB＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x＝eq\f(180,7).∴∠A为eq\f(180°,7).思想方法3整体思想17．在△ABC中，∠A＝α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．(1)如图1，假设BE＝BD，CD＝CF，那么∠EDF＝90°－eq\f(1,2)α；(2)如图2，假设BD＝DE，DC＝DF，那么∠EDF＝180°－2α；(3)如图3，假设BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，那么∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)；(4)如图4，假设DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，那么∠EDF＝eq\f(1,2)(180°－α)．

小专题2特殊三角形中常见辅助线的作法类型1利用等腰三角形的“三线合一〞作辅助线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝eq\f(1,2)BC.假设∠EAB＝20°，那么∠BAC＝40°．2．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：过点A作AP⊥BC于点P.∵AB＝AC，∴BP＝PC.∵AD＝AE，∴DP＝PE.∴BP－DP＝PC－PE，即BD＝CE.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.证明：过点E作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq\f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABE和△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AF，,∠BAE＝∠FAE，,AE＝AE，))∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.4．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.证明：连接OC.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°.∴OC＝OB.又∵点O为AB的中点，∴CO⊥AB.∴∠COB＝90°.又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.在△EOC和△FOB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOC＝∠FOB，,OC＝OB，,∠OCE＝∠OBF，))∴△EOC≌△FOB(ASA)．∴OE＝OF.类型2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，那么BC的长为12．6．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，那么CD＝2．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．解：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.∴AD＝2AE＝4.又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，∴AC＝2AD＝8.∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.8．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.证明：过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M.∵在Rt△ABM中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AM.∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.在△BCD和△MAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBC＝∠DMA，,∠BDC＝∠MDA，,CD＝AD，))∴△BCD≌△MAD(AAS)．∴BC＝AM.∴AB＝2BC.

小专题3构造等腰三角形的常用方法方法1利用平行线构造等腰三角形①利用“角平分线＋平行线〞构造等腰三角形．假设∠1＝∠2，AC∥OB，那么△OAC为等腰三角形．②作腰的平行线构造等腰三角形．假设AB＝AC，DE∥AC，那么△BDE为等腰三角形．③作底边的平行线构造等腰三角形．假设AB＝AC，DE∥BC，那么△ADE为等腰三角形．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠DMB.∴BD＝MD.∵BD＝CE，∴MD＝CE.在△DMF和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MDF＝∠E，,∠MFD＝∠CFE，,MD＝CE，))∴△DMF≌△ECF(AAS)．∴DF＝EF.2．△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE.(1)如图1，假设点D在边AC上，猜测线段AD与CE之间的关系，并说明理由；(2)如图2，假设点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理由．解：(1)AD＝CE.理由：过点D作DP∥BC，交AB于点P，∵△ABC是等边三角形，∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°.∴△APD也是等边三角形．∴AP＝PD＝AD.∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.∴∠PDB＝∠DEC.又∵∠BPD＝∠A＋∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A＋∠ABC＝120°，∴∠BPD＝∠DCE.在△BPD和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDB＝∠CED，,∠BPD＝∠DCE，,DB＝DE，))∴△BPD≌△DCE(AAS)．∴PD＝CE.∴AD＝CE.(2)AD＝CE成立．理由：过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°.∴△APD也是等边三角形．∴AP＝PD＝AD.∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.∴∠PDB＝∠DEC.在△BPD和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDB＝∠CED，,∠P＝∠DCE＝60°，,DB＝DE，))∴△BPD≌△DCE(AAS)．∴PD＝CE.∴AD＝CE.方法2运用倍角关系构造等腰三角形在△ABC中，∠ACB＝eq\f(1,2)∠ABC.①如图1，作∠ABC的平分线BD，那么可构造等腰△BDC；②如图2，∠BCE＝2∠ACB，交BA的延长线于点E，那么可构造等腰△BCE；③如图3，延长CB至点D，使BD＝AB，那么可构造两个等腰三角形，如△ABD，△ADC；④如图4，作∠BCE＝∠ACB，交AB的延长线于点E，那么可构造等腰△BCE.3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.解：证法1：在边AC上截取AP＝AB，连接PD.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠PAD.在△ABD和△APD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AP，,∠BAD＝∠PAD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△APD(SAS)．∴∠APD＝∠B，PD＝BD.∵∠B＝2∠C，∴∠APD＝2∠C.∴∠PDC＝∠C.∴PD＝PC.∴AB＋BD＝AC.证法2：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，证△AED全等于△ACD即可．证法3：延长CB至E，使BE＝AB，连接AE，那么∠E＝∠C＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.方法3截长补短构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)解：方法1：(截长法)在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，那么CE＝AB＝AE.∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°.方法2：(补短法)延长DB至点F，使BF＝AB，那么AB＋BD＝DF＝CD.∴AF＝AC，∠C＝∠F＝eq\f(1,2)∠ABC.∵∠BAC＝120°，∴∠C＝20°.5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：BC＝CD＋AB.(用两种方法)解：方法1：(截长法)在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.在△ABD和△EBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝EB，,∠ABD＝∠EBD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BAC＝∠BED＝108°.∴∠DEC＝72°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°.∴∠CDE＝72°.∴∠CDE＝∠CED＝72°.∴CD＝CE.那么BC＝BE＋EC＝AB＋CD.方法2：(补短法)延长BA至点E′，使BE′＝BC，连接DE′，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠E′BD.在△E′BD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(E′B＝CB，,∠E′BD＝∠CBD，,BD＝BD，))∴△E′BD≌△CBD(SAS)．∴DE′＝DC，∠E′＝∠C＝36°.∵∠E′AD＝72°，∴∠E′DA＝∠E′AD＝72°.∴E′A＝E′D.∴CD＝DE′＝AE′.那么BC＝BE′＝AB＋AE′＝AB＋CD.

直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理根底题知识点1直角三角形的性质及判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，那么另一个锐角的度数是(D)A．120° B．90° C．60° D．30°2．由以下条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2022·遵义)a∥b，某学生将一直角三角板如下图放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35° B．55° C．56° D．65°知识点2勾股定理及其逆定理4．(2022·西安期中)以下各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D．1，1，eq\r(2)5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．假设BC＝5，CD＝3，那么BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．46．(2022·成都)如图，数轴上点A表示的实数是eq\r(5)－1．7．(2022·西安月考)等腰直角三角形中，假设斜边长为16，那么直角边的长为8eq\r(2)．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(132－122)＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝6＋30＝36.知识点3命题(逆命题)与定理(逆定理)9．以下命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．10．写出以下命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．易错点对图形分析不准确致错11．△ABC是直角三角形，AB＝3，BC＝4，分别以AB，BC，AC为边向△ABC外作正方形，那么以AC为边的正方形的面积是7或25．中档题12．△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，那么△ABC的面积是(A)A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm213．以下命题：①假设a＋b＝0，那么|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．0个14．(2022·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.假设∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，那么B′C的长为(A)A．3eq\r(3) B．6 C．3eq\r(2) \r(21)15．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，那么AB的长为(D)A．2 B．2eq\r(3) \f(\r(3),3)＋1 \r(3)＋116．(2022·襄阳)CD是△ABC的边AB上的高，假设CD＝eq\r(3)，AD＝1，AB＝2AC，那么BC的长为2eq\r(3)或2eq\r(7)．17．(2022·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．eq\x(作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD)→eq\x(根据勾股定理，利用AD作为“桥梁〞，建立方程模型求出x)→eq\x(利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积)解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，那么CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(152－92)＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.综合题19．观察以下勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？解：(1)当a＝19时，设b＝k，那么c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，那么c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.

第2课时直角三角形全等的判定根底题知识点1用HL判定直角三角形全等1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，那么直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A．HL B．ASAC．AAS D．SAS2．如图，AD是△ABC的边BC上的高，以下能使△ABD≌△ACD的条件是(A)A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，那么∠2＝(B)A．40° B．50°C．60° D．75°4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.假设BD＝3，CE＝5，那么DE＝8．5．(2022·泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB相交于点O.求证：OB＝OC.证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝BC，))∴Rt△ABC≌△DCB(HL)．∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.知识点2用其他方法证明直角三角形全等6．以下条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需写出一种情况)8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知识点3HL在实际问题中的应用9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，那么小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．中档题10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，那么以下图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，那么图中全等的直角三角形有(D)A．3对 B．4对 C．5对 D．6对12．如下图，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.假设AE＝1，CF＝3，那么AB的长度为eq\r(10)．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)假设∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.综合题15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.假设AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BF＝DE，))∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△DEM和△BFM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEM＝∠BFM，,∠DME＝∠BMF，,DE＝BF，))∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.

周测～(时间：40分钟总分值：100分)一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，那么∠A的度数是(C)A．70° B．55° C．50° D．40°2．假设△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，那么必有(D)A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠C3．以下命题的逆命题不正确的选项是(D)A．假设a2＝b2，那么a＝bB．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，以下结论中不正确的选项是(D)A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．有一个等腰三角形的周长为20，其中一边长为5，那么这个等腰三角形的底边长为(A)A．5 B．8C．5或10 D．106．如图，在高3m，坡面距离AB为5m的楼梯外表铺地毯，那么地毯长度至少需(B)A．6m B．7m C．8m D．12m7．假设等边三角形的一条高为eq\r(3)，那么其边长为(A)A．2 B．1 C．3 D．48．如图，在△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，那么AP的长不可能是(D)A． B． C． D．79．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．假设在边AB上截取BE＝BC，连接DE，那么图中等腰三角形共有(D)A．2个 B．3个C．4个 D．5个10．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交于点D，连接AD.假设AB＝3，DC＝4，那么AD的长是(C)A．5 B．7 C．5eq\r(2) D．无法确定二、填空题(每题4分，共20分)11．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE.假设要用“斜边、直角边(HL)〞直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，那么还需补充条件BE＝FC或BC＝FE．12．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°〞成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，那么可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．13．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，那么CE＝3．14．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，那么BD的长为4eq\r(3)．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，E分别在边AC，AB上，点D与点A，点C都不重合，点F在边CB的延长线上，且AE＝ED＝BF，连接DF交AB于点G.假设BC＝4，那么线段EG的长为4．三、解答题(共50分)16．(12分)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，BC＝2，CD＝1，求AD的长．解：分别延长AB，DC相交于点E，在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°.在Rt△CBE中，∵∠E＝30°，BC＝2，∴EC＝4.∴DE＝4＋1＝5.在Rt△ADE中，∠E＝30°，∴AE＝2AD，AE2＝AD2＋DE2，即4AD2＝AD2＋52.解得AD＝eq\f(5\r(3),3).18．(12分)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)假设∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AE＝BE，,∠AEC＝∠BED，))∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.19．(14分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求证：△ODE是等边三角形；(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合此题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形〞有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；②假设等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．

1．3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理根底题知识点1线段垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝3cm，那么线段PB的长为(D)A．6cm B．5cmC．4cm D．3cm2．如图，AB是CD的垂直平分线，假设AC＝cm，BD＝cm，那么四边形ACBD的周长是(B)A．cm B．cmC．4cm D．cm3．(2022·黄冈)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，那么∠BAD为(B)A．50° B．70° C．75° D．80°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，那么∠BCD的度数为(C)A．80° B．75° C．45° D．35°5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，那么CE的长为6．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知识点2线段垂直平分线的判定7．如图，AC＝AD，BC＝BD，那么有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB8．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，那么点C在线段AD的垂直平分线上．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴点D在AB的垂直平分线上．中档题10．以下说法：①假设直线PE是线段AB的垂直平分线，那么EA＝EB；②假设PA＝PB，EA＝EB，那么直线PE是线段AB的垂直平分线；③假设EA＝EB，那么直线EP是线段AB的垂直平分线；④假设PA＝PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．(教材P24习题T3变式)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，那么△ABC的周长为(B)A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于eq\f(1,2)AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，那么：(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝〞“＞〞或“＜〞)(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，那么∠C＝30°．14．(2022·南充)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，那么∠C＝24°．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．综合题16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明如下：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，且AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.

第2课时三角形三边的垂直平分线根底题知识点1三角形三边的垂直平分线的性质1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，那么点P一定(D)A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，那么这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC．4．如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5cm，那么AO＋BO＋CO＝15__cm．5．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC＝6cm，请计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知识点2作图6．在同一平面内，过直线上一点作直线的垂线，能作(A)A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条7．以下作图语句正确的选项是(D)A．过点P作线段AB的中垂线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线8．如图，线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，那么△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(C)A．① B．② C．③ D．④9．(教材P26习题T3变式)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村，B村，C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出、求作；不写作法，保存作图痕迹．解：：A，B，C三点不在同一直线上．求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.如下图，点P即为所求的点．易错点忽略平面内三点的位置关系致错10．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有中档题11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，那么(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，在△ABC中，∠A＝62°，O是边AB和边BC的垂直平分线的交点，那么∠BCO＝28°．13．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．14．如下图，线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保存作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如下图．15．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)假设∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)假设△CMN的周长为15cm，求AB的长；(3)假设∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠MAC＋2∠NBC)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.微专题——本课时T15(1)的变式与应用总结归纳：如图，在△ABC中，∠BAC＝α(α＞90°)，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，那么∠EAF＝2α－180°.16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°.(1)在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小；(2)在(1)的条件下，∠AMN＋∠ANM的度数为120°．解：如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，那么A′A″的长度即为△AMN周长的最小值．

1．4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理根底题知识点1角平分线的性质1．以下各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，那么可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞的图形是(D)2．(2022·太原期中)如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E，以下结论不一定正确的选项是(D)A．PC＝PD B．OC＝ODC．OP垂直平分CD D．OE＝CD3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．假设PA＝2，那么PQ的最小值为(B)A．1 B．2 C．3 D．44．(2022·