课件-量子力学讲义

1上次课复习波尔（Bohr）的量子论：氢原子线状光谱的解释波尔的假定、量子化条件、波尔半径、量子跃迁的频率条件索末菲量子化条件推广玻尔—索末菲理论的局限性实物粒子的波粒二象性：德布罗意波驻波条件、德布罗意关系波函数波函数的统计解释、波函数的性质2（三）波函数的性质

在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t) 描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

称为几率密度。在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ3（2） 平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,从而得常数

C之值为：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,

则C0,这是没有意义的。注意：自由粒子波函数不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，再予以讨论。4（3）归一化波函数这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数。因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：

由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。5归一化常数若Ψ(r,t)没有归一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{i}ψ(r,t)

也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2

称为归一化因子。

6§2.2态叠加原理（一） 什么是态？（二）态叠加原理（三） 动量空间（表象）的波函数7态：某时刻事物所处的状态。它不仅仅是量子力学所拥有的独特概念，也应该是对任何事物都成立的概念。由态的定义，事物存在的状态必然由三个因素所决定：1、事物本身的性质；2、事物发展的历史；3、事物在某时刻所处的环境条件。

量子力学用量子态的概念表征微观体系的状态（一）什么是态8

状态函数（波函数）：描述体系运动状态的函数。包括，体系的运动规律与趋势，体系在某一时刻的全部物理参数。通常情况下，只有一些参数是必要的。希尔伯特

希尔伯特空间的一个矢量：状态（波函数）用Hilbert空间的矢量描述，称为态矢量。量子力学认为，微观物理实在既不是波也不是粒子，真正的实在是量子态。9量子力学把研究对象及其所处的环境看作一个整体，它不允许把世界看成由彼此分离的、独立的部分组成的。

量子态概念所表达的是微观体系与仪器相互作用而产生的表现为波或粒子的可能性。但在量子力学中，体系的状态有两种变化，一种是体系的状态按运动方程演进，这是可逆的变化；另一种是测量改变体系状态的不可逆变化。因此，量子力学对决定状态的物理量不能给出确定的预言，只能给出物理量取值的几率。在这个意义上，经典物理学因果律在微观领域失效了。10（二） 态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。11考虑电子双缝衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：

|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2

两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。127个100个3000个20000个70000个1314态叠加原理一般表述：若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...为复常数)也是体系的一个可能状态。

处于Ψ态的体系，部分的处于Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...一般情况下，如果Ψ1和Ψ2

是体系的可能状态，那末它们的线性叠加：

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是该体系的一个可能状态.其中C1和C2是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。15例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p

运动。具有确定动量的运动状态用de

Broglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成

p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dΨΨp16（二）动量空间（表象）的波函数显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。所以Ψ(r,t)与C(p,t)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。Ψ(r,t)是以坐标

r

为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p,t)

是以动量

p

为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；二者描写同一量子状态。波函数Ψ(r,t)可用各种不同动量的平面波表示，下面我们给出简单证明。展开系数令则Ψ可按Фp展开17平面波归一化(I)IDirac—函数

定义：或等价的表示为：对在x=x0

邻域连续的任何函数f（x）有：—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/,dk=dpx/,则

性质：0x0x18平面波归一化(II)写成分量形式t=0时的平面波考虑一维积分若取A122=1，则A1=[2]-1/2,于是平面波可归一化为函数19三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。2021若Ψ(r,t)已归一化，则C(p,t)也是归一化的2223薛定谔猫Schroedinger'scat

实验内容：这只猫十分可怜，她被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放出α粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，猫必死无疑。这个残忍的装置由薛定谔所设计，所以此猫便叫做薛定谔的猫。薛定谔猫是关于量子理论的一个理想实验24

由于原子核在何时衰变是随机事件，具有不确定性，所以在密室未打开进行观测之前，猫的状态也是不确定的，用量子力学的术语来说，就是处于“死与活的叠加状态”——既死了又活着！

按照常识，密室中猫的状态必是以下两者之一：猫死了，猫还活着。但量子力学告诉我们，存在一种二者叠加的状态：猫既是死的又是活的。这种混沌不确定的状态在密室被打开之前将一直保持下去。只有等到密室被打开的一瞬间，某个确定态才会从不确定的叠加态中蹦出来。宏观物体具有了量子的测不准性。25§3Schrodinger方程（一）引言（二）引进方程的基本考虑（三）自由粒子满足的方程（四）势场V(r)中运动的粒子（五）多粒子体系的Schrodinger方程26这些问题在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决。

微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。（一） 引言271.薛定谔简介(E．SchrÖdinger,1887～1961)

奥地利理论物理学家，波动力学的创始人。薛定谔1887年生于维也纳。1910年获得博士学位。第一次世界大战期间，他服役于一个炮兵要塞，利用闲暇研究理论物理学。战后回到第二物理研究所。1920年担任M．维恩的物理实验室助手。1921年，薛定谔受聘到瑞士苏黎士大学任数学物理学教授，在那里工作了6年。1927年接替普朗克任柏林大学理论物理学教授。同年当选为普鲁士科学院院士。1933年受德国纳粹党徒的迫害，离开苏黎士到英国任牛津大学物理学教授。同年和狄拉克一起荣获诺贝尔物理学奖。波动力学的建立281936年回到奥地利，1938年奥地利沦陷，薛定谔再度受到纳粹的迫害，于9月1日仅“带了一只小小皮箱”逃往爱尔兰的都柏林，在都柏林高级研究所，成为理论物理学的领导。在那里，他逗留了17年。在此期间，他继续从事科学研究，并发表了许多论文。1956年，他回到奥地利，成为维也纳大学物理系的名誉教授。奥地利政府给了他极大的荣誉，设立了以他的名字命名的国家奖金，并把第一次奖金授予他本人。

1957年薛定谔接受了德国高级荣誉勋章。他还被许多大学和科学团体授予荣誉学位，其中包括英国伦敦皇家学会、柏林普鲁士科学院、奥地利科学院等。1961年1月4日，在奥地利病逝。29（二）引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况30（2）量子情况3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1．因为，t=t0

时刻，已知的初态是ψ(r,t0)

且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末

ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ,ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。31（三）自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：(1)–(2)式32满足上述构造方程的三个条件讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式E=p2/2μ

写成如下方程形式：做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。(1)–(2)式33（四）势场V(r)中运动的粒子该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场V(r)

中运动，则能量和动量关系变为：将其作用于波函数得：做（4）式的算符替换得：34（五）多粒子体系的Schrodinger方程设体系由N个粒子组成，质量分别为μi(i=1,2,...,N)体系波函数记为ψ(r1,r2,...,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,...,rN)则多粒子体系的Schrodinger方程可表示为：35多粒子体系Hamilton量对有Z个电子的原子，电子间相互作用为Coulomb排斥作用：而原子核对第i个电子的Coulomb吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。例如：36作业：P15-16页1.1-1.5