2018-2019学年人教B版数学选修1-2同步学案：第二章 滚动训练二（§2.1～§2.2）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练二(§2.1~§2.2)一、选择题1．用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”,即假设正确的是:假设a，b，c都不是偶数,故选B.2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”，你认为这个推理()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案A解析任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0.故选A。3．“已知实数x，y满足(x－1）2＋（y－1)2＝1，求eq\r（x2＋y2)的最大值”时，可理解为在以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆上找一点，使它到原点距离最远问题，据此类比到空间,试分析：已知实数x，y,z满足（x－1)2＋（y－1)2＋(z－1）2＝1,求eq\r（x2＋y2＋z2)的最大值是（）A。eq\r(2）＋1B。eq\r(2）－1C.eq\r（3)＋1D。eq\r（3）－1考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析由题意，根据类比思想，(x－1)2＋(y－1）2＋（z－1)2＝1，球心（1，1，1)到原点的距离为eq\r（3），∴eq\r(x2＋y2＋z2）的最大值是球心(1,1，1）到原点的距离加上半径，即eq\r（3）＋1，故选C.4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选",丙说：“我当选了”,丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（）A．甲 B．乙C．丙 D．丁考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面中的应用答案C解析若甲当选，则都说假话，不合题意．若乙当选,则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁当选，则甲、丙、丁都说假话,乙说真话，不符合题意．故当选的同学是丙，故选C。5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是(）A．各正三角形内的任一点B．各正三角形的中心C．各正三角形边上的任一点D．各正三角形的某中线的中点考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案B解析正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．设｛an｝,{bn｝是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn｝也是等差数列，类比上述性质，设{sn},{tn｝是等比数列,则下列说法正确的是(）A．若rn＝sn＋tn,则{rn｝是等比数列B．若rn＝sntn，则｛rn｝是等比数列C．若rn＝sn－tn，则｛rn}是等比数列D．以上说法均不正确考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}是等差数列”，类比推理可得：“设｛sn｝，｛tn｝是等比数列，若rn＝sntn，则{rn｝是等比数列”．故选B。7．观察下列数表规律:2→36→710→11↑↓↑↓↑↓0→14→58→912→…则数2018的箭头方向是()A．2018→↑B．↓2018→C．↑→2018D．→2018↓考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵（表）中的应用答案A解析因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列,若2018在上行，则2018＝2＋(n－1)·4，得n＝505∈N＋。故2018在上行,又因为在上行偶数的箭头为eq\o(an,\s\do8（↑））→，故选A。8．已知f（x）＝x3＋x,a，b∈R，且a＋b〉0，则f(a)＋f(b）的值一定（）A．大于零 B．等于零C．小于零 D．正负都有可能考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用答案A解析∵f(x）＝x3＋x，∴f（x)是增函数且是奇函数．∵a＋b>0，∴a〉－b，∴f(a）〉f（－b）＝－f（b），∴f（a)＋f(b）〉0.二、填空题9．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________。考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案44。5解析设S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式倒序相加，得2S＝（sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°）＋…＋（sin289°＋sin21°）＝（sin21°＋cos21°）＋（sin22°＋cos22°）＋…＋(sin289°＋cos289°）＝89,∴S＝44。5.10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102,…。根据上述规律,第五个等式为________________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组）中的应用答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由所给等式可得，等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下，1＋2＝3,1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）2＝212。11．已知点A（x1,），B（x2，）是函数y＝3x的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论〉成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，tanx1）,B（x2，tanx2）是函数y＝tanxeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2）〈x<0））的图象上任意不同两点，则类似地有________________成立．考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案eq\f（tanx1＋tanx2,2）<taneq\f（x1＋x2，2)解析因为y＝tanxeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2）<x〈0）)图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标eq\f（tanx1＋tanx2,2)总是小于函数y＝tanxeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2）〈x<0)）图象上的点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2,2)，tan\f（x1＋x2，2)）)的纵坐标，即有eq\f(tanx1＋tanx2,2）〈taneq\f(x1＋x2，2）成立．12．已知集合｛a，b,c｝＝{0，1，2｝，且下列三个关系：①a≠2;②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________。考点反证法及应用题点反证法的应用答案201解析因为三个关系中只有一个正确,分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a≠2，,b≠2,，c＝0，)）由于集合｛a,b,c}＝｛0，1，2}，所以解得a＝b＝1，c＝0或a＝1，b＝c＝0或b＝1，a＝c＝0,与互异性矛盾；若②正确,则①③不正确，得到eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(b＝2，，a＝2，，c＝0，))与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确,得到eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（c≠0，，a＝2，,b≠2，）)则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，,b＝0，，c＝1，）)符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.三、解答题13．1,eq\r(3），2能否为同一等差数列中的三项?说明理由．考点反证法及应用题点反证法的应用解假设1，eq\r（3）,2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d,则1＝eq\r（3）－md,2＝eq\r(3)＋nd,m，n为两个正整数，消去d得m＝（eq\r(3)＋1)n.∵m为有理数，（eq\r(3）＋1）n为无理数．∴左边为有理数，右边为无理数，m＝(eq\r(3）＋1）n不成立，矛盾．∴假设不成立，即1，eq\r(3），2不可能为同一等差数列中的三项．四、探究与拓展14．已知△ABC的三边a,b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明分析法：要证明B为锐角，B为三角形的内角，则只需证cosB〉0.又cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)，只需证a2＋c2－b2〉0。即证a2＋c2〉b2。又a2＋c2≥2ac，只需证2ac>b2。由已知eq\f（2,b）＝eq\f（1，a)＋eq\f(1,c），即2ac＝b(a＋c），只需证b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立,在△ABC中，a＋c>b显然成立．所以B为锐角．综合法：由题意得eq\f（2，b）＝eq\f（1，a）＋eq\f(1,c）＝eq\f(a＋c,ac）,则b＝eq\f（2ac,a＋c），b(a＋c)＝2ac〉b2（因为a＋c>b)．因为cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac）≥eq\f（2ac－b2,2ac)>0，又0<B<π。所以0〈B〈eq\f（π，2），即B为锐角．15．(1)用分析法证明：当a〉2时,eq\r（a＋2)＋eq\r（a－2)〈2eq\r（a)。（2)设a，b是两个不相等的正数，且eq\f(1,a）＋eq\f（1，b)＝1，用综合法证明：a＋b〉4.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明(1)要证eq\r（a＋2)＋eq\r(a－2)<2eq\r（a）,只要证(eq\r(a＋2)＋eq\r(a－2））2<(2eq\r（a))2,只要证2a＋2eq\r（a2－4)<4a,只要证eq\r（a2－4）<a.∵a2－4〈a2显然成立,∴eq\r（a2－4)<a成立，∴eq\r(a＋2）＋eq\r（