2021-2022学年山东省临沂市沂南张庄中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省临沂市沂南张庄中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A． B．2 C． D．3参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以几何体的体积V=1×1×2+=．故选C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图与结构特征，几何体体积计算，属于基础题．4.设函数f（x）=sin（2x+），则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为2πC．f（x）图线关于直线点x=﹣对称D．f（x）图象关于点（﹣，0）对称参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意利用正弦函数的奇偶性、周期性、以及图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+），显然它不是偶函数，故排除A；由于它的最小正周期为=π，故排除B；当x=﹣时，函数f（x）=sin（2x+）=0，不是最值，故函数的图象关于直线x=﹣对称错，f（x）图象关于点（﹣，0）对称，故排除C，故选：D．5.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（） A．35 B． C． D．53参考答案：D【考点】计数原理的应用． 【专题】排列组合． 【分析】每个冠军的情况都有5种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果． 【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53， 故选：D． 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题． 6.如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是A．

B．

C．

D．参考答案：A7.为等比数列，是其前项和，若，且与的等差中项为，则

A．29

B．30

C．31

D．32参考答案：C8.已知向量，向量，若与垂直，则（

）A.－1 B.1 C. D.参考答案：C【分析】利用坐标运算求得和，根据向量垂直关系可构造方程求得结果.【详解】由题意知：，与垂直

解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，关键是明确向量垂直时，两个向量的数量积为零，属于基础题.

9.已知实数x，y满足条件，则的最小值为（

）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：A【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，然后平移直线，在可行解域内，找到当在纵轴上的截距最小时所经过的点，求出点的坐标，代入目标函数，求出最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图阴影部分就是可行解域，当直线经过点时，在纵轴上的截距最小，所以的最小值为：，故本题选A.10.下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．111]参考答案：解：，当，即时取等号；的最小值为；,故本题正确答案是

.12.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为

；渐近线方程为

。参考答案：(),13.已知复数z为纯虚数，且z（2+i）=1+ai，则实数a的值为

．参考答案：﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z为纯虚数，设z=xi（x∈R，x≠0）．代入利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z为纯虚数，设z=xi（x∈R，x≠0）．∵z（2+i）=1+ai，∴xi（2+i）=1+ai，∴2xi﹣x=1+ai，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数最小正周期是，单调减区间是．参考答案：π,[kπ+，kπ+]，k∈Z.【考点】余弦函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的周期性和单调性，求得结论．【解答】解：函数=cos（2x﹣）的最小正周期是=π，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：π；[kπ+，kπ+]，k∈Z．15.若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α，β的夹角为________．参考答案：90°16.设随机变量服从正态分布,则函数不存在零点的概率为________．参考答案：本题主要考查的是函数的零点以及正态分布曲线的对称性,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.因为函数不存在零点,所以?,因为随机变量服从正态分布,所以曲线关于直线对称,所以.故答案为.17.已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数f（x）是增函数，等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），要使f（x）=lnx+x2﹣ax在定义域内是增函数，则等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，∵f（x）=lnx+x2﹣ax，∴f′（x）=+2x﹣a≥0，即a≤+2x在x∈（0，1）上恒成立，当x＞0时，y=+2x≥2=2，当且仅当x=时取等号．则a≤2，故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.参考答案：解：（1）设椭圆的标准方程为由已知，，所以椭圆的标准方程为.（2）由已知，双曲线的标准方程为，其左顶点为设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，则

即

所以抛物线的标准方程为.略19.（14分）已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，﹣2），离心率为e=，过点P作斜率为k1，k2的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）若k1?k2=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．参考答案：【考点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组解出a、b之值，即可得到椭圆的方程；（2）由题意得直线PA方程为y=k1x﹣2，与椭圆方程消去y得到关于x的方程，解出A点坐标含有k1的式子，同理得到B点坐标含有k2的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k1k2=2化简整理，可证出AB方程当x=0时y=﹣6，由此可得直线AB必过定点Q（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，﹣2），∴设椭圆的方程为（a＞b＞0），可得a=2，且，解之得b=1，∴椭圆的方程为：；（2）由题意，可得直线PA方程为y=k1x﹣2，与椭圆方程消去y，得（1+）x2﹣k1x=0，解之得x=0或x=由P的坐标为（0，﹣2），得A（，k1?﹣2），即（，）同理可行B的坐标为（，），结合题意k1?k2=2，化简得B（，）因此，直线AB的方程为，化简得=（），令x=0得==﹣6，由此可得直线AB过定点定点Q（0，﹣6）．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求它的方程并证明直线经过定点．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．20.已知二项式．（1）求展开式中的常数项；（2）设展开式中系数最大的项为求t的值.参考答案：（1）7920；（2）12.【分析】(1)直接利用展开式通项,取次数为0,解得答案.(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案.【详解】解：（1）展开式中的通项，令得所以展开式中的常数项为（2）设展开式中系数最大的项是，则所以代入通项公式可得.【点睛】本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.21.已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入?的表达式中，求得?=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．由解得即两圆相切于点（1，0）．因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．记点A（x1，y1），B（x2，y2），则又因为=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件22.（满分12分）已知一圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求该圆的方程参考答案：解：设圆心为，因为圆心在直线上，所以，