2021-2022学年山西省吕梁市汾阳田屯中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省吕梁市汾阳田屯中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥3”，的否命题是

A．若a+b+c≠3，则<3

B．若a+b+c=3，则<3

C．若a+b+c≠3，则≥3

D．若≥3，则a+b+c=3参考答案：A本题考查了否命题，难度较小。一个命题的否命题，就是将命题的条件与结论同时否定，故选A。2.执行如图所示的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：C3.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值为()A.

B.

C.

D.参考答案：A逐一验证：令，则，由得的一个值为，这样其图象关于直线对称。4.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是

（

）参考答案：B略5.的值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略6.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3）∴=（cosα﹣3）?cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选B7.定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（

）A.[1,+∞) B.[1,2] C.(1,2) D.(1,+∞)参考答案：D分析：由题意结合不等式的性质构造函数，结合函数的单调性将原问题转化为恒成立的问题，然后整理计算即可求得最终结果.详解：考查函数：，则：，据此可得函数单调递增，，则不等式即：，则：，不等式即，结合函数的单调性可得：恒成立，当时，，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.8.四面体的外接球球心在上，且，，则在外接球球面上，两点间的球面距离是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则（） A． B． C． D．参考答案：C略10.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解.【详解】由题得.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={x|y=lg(x–3)}，B={x|y=}，则A∩B=

。参考答案：{x|3<x≤5}12.设过曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围为

．参考答案：13.函数的定义域是．参考答案：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．14.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的

．（用数字作答）参考答案：6000

略15.若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．参考答案：

16.已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值是

．参考答案：17.已知函数的定义域为[]，部分对应值如下表：0451221

的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：①函数是周期函数；②函数在[0,2]上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值是4；④当时，函数有4个零点；⑤函数的零点个数可能为0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是_______（写出所有正确命题的序号）。参考答案：②⑤略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，，求证：．参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．（Ⅰ）函数定义域为，令得，令得，故在单调递增，在单调递减.……………4分（Ⅱ）不妨设，则，要证：即证：……（*），而，令，（*）等价于，……………8分设，令∵在恒成立，则在单调递增，故，故在单调递增，故，故原命题得证．……………12分19.（本小题满分12分）如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F为CD中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小；（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．参考答案：解析（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，∵F，G分别为DC，BC中点，∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，∴AE∥FG且AE＝FG，∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，∵G为BC中点，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD．······························································································4分（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，．设面CDE的法向量，则取，·················6分取面ABDE的法向量，···································7分由，故二面角C－DE－A的大小为．························8分（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量，，则点A到平面CDE的距离．12分20.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1)若点为抛物线准线上

一点，点，均在该抛物线上，并且直线经

过该抛物线的焦点，证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上，

要么落在所表示的曲线上，并且,

试写出（不需证明）；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.参考答案：解：(1)设，由于青蛙依次向右向上跳动，所以，，由抛物线定义知：

分(2)依题意，

随着的增大，点无限接近点

分横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

分所以=

分(3)方法一：设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：，且

其中

分∴，即，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴，

所以当为偶数时，，于是，

又

∴当为奇数时，

分

当为偶数时，

当为奇数时，

所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，

分

方法二：由题意知

其中观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为，公比为的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。

分所以，当为偶数时，当为奇数时，

当为偶数时，当为奇数时，

分所以，

分21.（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在点（0，）处的切线与直线平行，求a的值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）

由条件知，

因为函数在点的切线与直线平行所以,

（Ⅱ）①当时，，在上，有，函数增；在上，有函数减，

函数的最小值为0，结论不成立．②当时，

(1)若，，结论不成立

(2)若，则，在上，有，函数增；在上，有，函数减，只需，所以

(3)若，则，在上，有，函数减；在,有,函数增;在上，有，函数减函数在有极小值，只需得到，因为，所以综上所述可得

【思路点拨】根据导数的意义求出参数a，再根据单调性求出极值最值确定参数的范围。22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，，.（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）求异面直线B1C与A1B所成角的大小；（3）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值（用含的代数式表示）.参考答案：（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据三棱柱的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）由（1）得到，建立空间直角坐标系，求得向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由，得，设，得，求得向量的坐标，结合平面，利用，即可求解.【详解】（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，交线为.又因