2021-2022学年山西省晋中市长凝中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年山西省晋中市长凝中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在定义域R内可导，若，且当时，。设则（

）A

B

C

D

10、参考答案：B2.二次函数的部分图象如右图，则函数的零点所在的区间是（）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略3.已知向量（

）

A．—3

B．—2

C．1

D．－1参考答案：A略4.设的共轭复数是，若，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.设集合A={}，集合B为函数的定义域，则AB=（

）

A．（1，2）

B.[1，2]

C.[1，2）

D.（1，2]参考答案：D略6.已知是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞,0]上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C因为是定义在上的偶函数，图像关于y轴对称因为在区间上单调递增，所以在区间[上单调递减得到示意图如下根据函数对称性和单调性可知，满足的的取值范围是

7.设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩?UB=（）A．{1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1}参考答案：C【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出?UB与A∩?UB即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以?UB={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩?UB={﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．8.已知函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4] B．[0，+2] C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）参考答案：A【考点】54：根的存在性及根的个数判断；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）=x3﹣31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx?a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3=﹣3lnx?﹣a=3lnx﹣x3在上有解．9.若函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（2，3） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣2，3）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式f（x）＞0和f（x）＜0的解，然后将不等式（x﹣2）?f（x）＜0转化为①或，②，进行求解．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且在[0，+∞）内是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]内是减函数，∵f（﹣3）=﹣f（3）=0，∴f（3）=0．则f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣2）?f（x）＜0等价为：①或，②由①得，得2＜x＜3．由②得，得x＜﹣3．综上：2＜x＜3或x＜﹣3．故不等式的解集为：（﹣∞，﹣3）∪（2，3），故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（）A．

B．和C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a，b，c是正实数，且abc＋a＋c＝b，设，则p的最大值为

▲

．参考答案：12.记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，并将bi按如下规则标在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处：点（1，0）处标b1，点（1，﹣1）处标b2，点（0，﹣1）处标b3，点（﹣1，﹣1）处标b4，点（﹣1，0）标b5，点（﹣1，1）处标b6，点（0，1）处标b7，…，以此类推，则（1）b5=；（2）标b50处的格点坐标为

．参考答案：（4，2）考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）根据题意，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，分子分别为6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，可得结论；（2）由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可．解答： 解：（1）根据题意，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，分子分别为6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，故b5==；（2）从横轴上的点开始点开始计数，从b1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点第二周从b10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8×（周数﹣1）令周数为t，各周的点数和为St=9+8（t﹣1）=8t+1，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是b=2t﹣1由于S1=9，S2=17，S3=25，S4=33，由于9+17+25=51，第50个格点应在第三周的倒数第二个点上，故其坐标为（4，2）．故答案为：；（4，2）．点评：本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式．13.如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，则(＋)·(＋)＝

．参考答案：114.已知直线l的参数方程是，曲线C的极坐标方程是=2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=

__．参考答案：略15.若实数满足，则的取值范围是__________．参考答案：如图，画出可行域，设写成表示斜率为-2的一组平行线，当直线过时，目标函数取得最小值，当直线过点时目标函数取得最大值，所以的取值范围是，故填：.考点：线性规划16.设实数x，y满足条件，则z＝2x－y的最大值是＿＿＿＿参考答案：117.已知A，B两点均在焦点为F的抛物线上，若|，线段AB的中点到直线的距离为1，则P的值为__________.参考答案：1或3【分析】分别过A、B作直线的垂线，设AB的中点M在准线上的射影为N，根据抛物线的定义，可得，梯形中，中位线，由线段AB的中点到的距离为1，可得，进而即可求解.【详解】分别过A、B作直线的垂线，垂足为C、D，设AB的中点M在准线上的射影为N，连接MN，设，根据抛物线的定义，可得，所以梯形中，中位线，可得，即，因为线段AB的中点到的距离为1，可得，所以，解得或.故答案为：1或3.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用.着重考查了转化与化归思想，函数与方程思想的应用，以及计算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角A，B，C的对边,其中Ａ为锐角,,且,求Ａ，和的面积Ｓ．参考答案：解:（Ⅰ）因为,所以（Ⅱ）因为，所以，则，所以，即则从而略19.

设是函数的一个极值点（，e为自然对数的底）.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0,最大值为，且。试求m与

的值.参考答案：解析：⑴

由已知有：∴a+(ab+a)+ab+b-1=0，∴

从而令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝．∵

∴ｘ2

当ｘ变化时，、f（ｘ）的变化情况如下表：ｘ－＋＋－减函数增函数增函数减函数

从上表可知：在,上是减函数;在，上是增函数.

⑵∵m>－1，由（I）知：①

当－10时,m+11,在闭区间上是增函数.∴且.化简得:.又<1.故此时的a,m不存在.②

当m1时,在闭区间上是减函数.又时=.其最小值不可能为0

∴此时的a,m也不存在

⑴

当0时,.则最大值为得:b=0,

又的最小值为∴综上知:.20.（本题满分12分）设平面向量，，函数.（Ⅰ）求函数的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当,且时,求的值.参考答案：依题意………（2分）………………（4分）（Ⅰ）函数的值域是；………………（5分）令，解得………………（7分）所以函数的单调增区间为.……（8分）（Ⅱ）由得,因为所以得,………（10分）……………………（12分）21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；（Ⅱ）当时，对任意的正整数，求证：，且不等式都成立.参考答案：解：（I）由题设可得函数在上是增函数，当时，不等式即恒成立.当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；-----6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数对于任意的正整数，有，则--------------8分22.(本小题满分14分)

已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：解：(1)因为离心率为，又2a=，∴a=，c=1

故b=1，故椭圆的方程为………………(4分)

(2)设l的方程为y=kx－

由得(2k2+1)x2－kx－=0

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)

则x1+x2=

x1·x2=……(8分)

假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则

·=x1x2+(y1－m)(y2－m)=x1x2+y1y2－m(y1+y2)+m2

=x1x2+(