材料成形原理课件第十四讲应力分析

华中科技大学材料学院第17章应力分析xyoPABdxdyuvP'A'B'A''ab几何方程

小变形几何方程（柯西方程）xy

＝a+bxy几何方程

三维问题几何方程柯西方程位移与应变关系几何方程

平面问题几何方程二维问题的位移与应变关系平面应力/应变几何方程

轴对问题几何方程xyordqu应变张量应变张量

定义剪应变分量xy、yz、zxexy＝eyxeyz＝

ezyezx＝

exz应变张量

应变张量应变分量ex、

ey、

ez、exy、

eyz、

ezx满足张量的性质，构成应变张量exy＝eyxeyz＝

ezyezx＝

exz应变张量

应变主平面当向量v在某方向时应变总矢量垂直于ABC曲面，且在该面上的剪应变为零。向量v称为主轴ABCxyzOexeyezv

v主应变作用在主平面上ABC的法向应力ve应变张量

主应变应变张量ij的三个主应变

1＞

2＞

3

应变张量

主应变应变状态特征方程主应变：状态特征方程的三个实根应变张量不变量应变张量

应变张量不变量可用主应变表示塑性变形时，如果体积不变，则I1=0一般三个主应变，

1＞

2＞

3

应变张量分解

应变张量可以分解为应变球张量（平均应变m）体积不可压缩时，平均应变m=0应变偏张量应变张量分解

应变偏张量描述单元体形状变化，当体积不可压缩时平均应变m=0，则应变强度等效应变（应变强度）等效应变是一个不变量；等效应变在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）方向上的正应变塑性变形体积不变条件

设单元体的初始边长为dx，dy，dz，体积为V0=dx·dt·dz；小变形时，可以认为只有正应变才引起边长和体积的变化，而切应变引起的边长和体积变化可以忽略，变形后单元体的体积为：单元体的体积变化率为

塑性变形体积不变条件

弹性变形时，体积变化率必须考虑；塑性变形时，虽然体积也有微量变化，但与塑性应变相比是很小的，可以忽略不计。因此，一般认为塑性变形时体积不变

常作为对塑性成形过程进行力学分析的一种前提条件，也可用于工艺设计中计算原毛坯的体积应变率全量应变的大小应与变形路径有关，只有确定的应变路径，才能确定全量应变的大小；塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来；当温度较高或成形速度较快的条件下，应变变化率对金属成形有较大的影响；金属塑性加工属于塑性大应变问题，只研究全量应变不能准确反映成形过程的物理量变化；因此有必要研究应变随时间变化规律，即应变率应变率单位时间内应变值的变化量应变率应变率分量与速度的几何关系应变率应变增量应变增量在变形过程中，物体内各点都处于运动状态，某一时刻t，速度分量速度分量是x,y,z,t

的函数，在无限小时段内各点产生的位移为由du、dv、dw位移引起的应变称为应变增量应变增量应变增量应变增量的具体表达形式应变增量张量应变增量张量应变增量强度（等效应变增量）应变协调方程（相容方程）应变协调方程ABCDABCD变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象；为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程；应变协调方程（相容方程）应变协调方程应变协调方程几何方程应变协调方程（相容方程）应变协调方程应变协调方程（相容方程）εx对y求两次偏导数，可得

εy对x求两次偏导数，可得

上面两项相加可得

应变协调方程应变协调方程（相容方程）应变协调方程应变协调方程（相容方程）剪应变xy、yz、zx分别对z、x、y求偏导数

应变协调方程应变协调方程（相容方程）应变协调方程应变协调方程（相容方程）应变协调方程一共6个方程

应变协调方程应变协调方程（相容方程）应变协调方程的物理意义

如将变形体分解为许多单元体，每个单元体的变形可用六个应变分量表示，若应变分量不满足应变协调方程，则单元体不能组成一连续体。若满足，则可保证变形前后物体是连续的；利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确