微积分题库-考试3练习题

2006-EX1KK/cal- 3-20S外的一点.证明：若S上的点Q使得线段P0QP0与S上任意一点连线的最短线段，则向量P0Q必与曲面S在该点的切平面垂直。(x(xx0)2(yy0)2(zz0

r(x,y,z)s.t.F(x,y,z)gradrgradFx y zz F P0 zP0 r0

p0rp0所以r0与S LrF

x

( LrFyy0F (2) Lr z

r r

r

n0，即

nf(xyzlnxlny3lnzx2y2z25r（x0y0z0）上的最大值，并证明对任何正数abc成立不等式abc327(abc)55L(xyzf(xyz(x2y2x25r2L12x x2

由

2y

得y2

y2z

z

2r

3fmaxlnrlnr 3r5lnr 33lnxyz3lnxlny3lnz5lnr3ln[33(x2y2z2)5/25x2y2zxyz33

)525x2y2z6

x2y2z5所以对任意正数abc有abc327(abc)55设uuxyz在单连域R3gradu0，试证明uu(x,y,z)在内无封闭等值面。[证明]假设uux,yz)在内有封闭的等值面，把和所包含的内部区域1记为2，则2为内的有界闭集。所以uu(x,yz)在2上有最大最小值，gradu0，所以uu(x,yz在2上不为常数，而uux,yz)在上为常数，所以最大最小值点至少有一点在开集1p在1p则gradu|p0，与gradu0 。所以uu(x,y,z)在内无Dxyx2y29}f(xy)3x23y2x3Dfx6x3x21]由fy6yP1(0,0),P2(2,0)

f(xyDDL(xy3x23y2x3(x2y29)L6x3x22x L 6 2 Lx2y29P33,0P43,0)P50,3P60,3)f(0,0)0,f(2,0)4,f(3,0)0,f(3,0)54,f(0,3)f(0,3)f(xyD上的最大值是54fx6x3x22]由fy6yP1(0,0),P2(2,0)

f(xyDDf(xy)3(x2y2x327x33x3f(xyD的边界上的最大值是540．f(0,0)0,f(2,0)4f(xyD上的最大值是54过曲面SF(xyz2x23y2z26P(1,1,1)6x28y侧的法向量为n,求函数u 在点6x28yzgradf(1,1,1)(4x,6y,2z)(1,1,1)单位法向量为n

u 在点P处的三个偏导6x6x28yu(P)

, 6x28y

,

.于是函数u 在点P处的梯度向量 ,zPn

gradf(P)n7P0x0y0z0是条件极值问minu(x,y,z)x22y23z z(x1)2y21 x22y23z2R2 x22y23z2R2zx12y210P(xy 切平面,则 ]A)1与2互相垂直(C)1与2的法线的夹角是

(B)1与2重合(DA,BC都不正确L(x,y,z,)x22y23z2(z(x1)2y21)。由日子法P0x0y0z

1)4

2y0

2,

131P0的法矢v(2x,4y

)(4,4y0,2) P的法矢量为nv2,2y,1 显然有 v。又因为1和2相交，所以它们重合n1//n设由ezxyyzzx确定的隐函数为zf(x,y)，则zf(x,y)存在的充分条件与曲面zf(x,y)在点(1,1,0)处的为切平面方 ezxy0xyz2ezxy0xyz2ezxy0xyz2ezxy0xyz2F(xyzezxyyzzx，隐函zf(xy存在的充分Fz(xyzezxy0F(1,1,0)x 1，F(1,1,0)ezx 1 (x1)y1z0xyz2答案为(A)f(xyx6y8），

f(xy在点(x,y

gradf(xyy8,x6)T(y8)2(y8)2(x考虑h(xy)g2xy)x6)2y8)2hx2(x6)h2(y8),x2y225令F(xy)x6)2y8)2(x2y225) F2(y8)2yFx

y

25x得y

x或y

因为h(3,4)25,h(3,4225 g(xyD15,5x设函数u(x,y)(xy(xyxy(t)dt其中函数具有二阶导数，x2u 2u

x

y

y (C)xyy (D)xyu(xy(xy(xy(x (xy)(xy)(xy)(xu(xy)(xy)(xy)(x (xy)(xy)(xy)(xy

(xy)(xy)(xy)(x

y

。选[B]xtyt2z1t3x2yz3平行的切线[B(A)只有一条 (B)只有两条。(C)只有三条 (D)不存在解：曲线的切矢量为(1,2t,t2)，平面的法矢量为(1,2,1)。为使切DxyR2xa,yba0,b0},fx,yD

kf(xy)(常数k0Dfx,y)0fx,yD,最小值m不能同时为零。不妨设最小值m0D的边界上fx,y)0D内的点(x0y0使得f(x0y0m0f(x,yD内可微，点(x0y0（驻点）。所以f(x0y0f(x0y00，这f(x0,y0)f(x0,y0)kf(x,

)0！因此f(x,y)在DP1182Q1，P212Q2，其中Q1和Q2分别企业生产这种产品的总成本函数是C2Q5，其中QQ1Q2。 fP1Q1P2Q2C(182Q1)Q1(12Qs)Q22(Q1Q2)f164Q则f

1

Q1