初中数学：一元二次方程-实际问题与函数

第二十一章

一元二次方程实际问题与二次函数第1课时【情感预热】问题1（1）请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：①y＝6x2＋12x；②y＝－4x2＋8x－10.（2）以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.[解]（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.【合作互动】问题2例1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？【合作互动】问题2例1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？

[解]当t===3时，h有最大值==45.即小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动的最大高度是45m.

[结论]一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.【合作互动】问题3[练习1]如图，用12m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？【合作互动】问题2[练习2]张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.【内化导行】问题2[练习2]张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.[解]（1）由题意可知AB=xm，则BC=（32-2x）m，∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.【合作互动】问题4例2如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？【合作互动】问题4

【内化导行】问题4[练习3]如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？[解]设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为y.根据题意，得y＝1－2x（1－x）.整理，得y＝2x2－2x＋1，所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小为0.5，即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.【内化导行】课堂小结：（1）课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获