微积分课件：2-1数列极限

第二章极限与连续§2.1

数列极限极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法

从认识有限到把握无限

从了解离散到理解连续

微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需要用极限来求数列的概念

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

数列举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1x5x4x3x2xn

数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,

它依次取数轴上的点x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

数列的几何意义数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),

nN.

数列与函数数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过观察:

例如

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.当n无限增大时,

xn无限接近于a

.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析

因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,

xn无限接近于常数a.

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则数列{xn}收敛a.数列极限的精确定义

设{xn}为一数列如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N

时不等式|xna|<e总成立

则称常数a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a

记为

如果不存在这样的常数a

就说数列{xn}没有极限

0,NN

当nN时有|xna|.极限定义的简记形式aa-ea+e()数列极限的几何意义

0,NN

当nN时有|xna|.存在NN

当n<N时点xn一般落在邻域(a-e,

a+e)外:当n>N时点xn全都落在邻域(a-e,

a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,

a+e),分析:

例1

证明

0,NN

当nN时有|xna|.

例2分析:

证明

0,NN

当nN时有|xna|.分析:

例3

设|q|<1,

证明等比数列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的极限是0.

对于

0,

要使

|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,当nN时,

有因为

0,

证明

N=[log|q|e+1]N

0,NN

当nN时有|xna|.例4证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例5证例6.

证明证:

>0要使则当n>N时,有(要证N,当n>N时,有若>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xna|<,.limaxnn=¥®则记)

|0cos1|ep<-nn例7.

证:>0,由于要使|xna|<,则当n>N时,有例8.

证:

(1)设

a=1,结论显然成立.(2)设

a>1,从而>1+nn伯努利不等式>0,(3)设0<a<1,即>0,N,当n>N时,有.(因0<a<1)综合得2．数列极限的运算数列极限的运算法则：解例2

求下列各极限:解

夹逼定理(两边夹定理,迫敛性定理)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故定理证定理证由绝对值不等式,得注意：该例题结论的逆命题不真.例如,{(1)n}.但也有例外的,如当a=0时是成立的.例.证明证:利用夹逼定理.且由<+pnnn22pnnnn+¥®22limnnp+=¥®11lim1=数列的单调性单调增加不减少的单调减少不增加的严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列数列的有界性数列的有界性的定义如何定义数列无界？

有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？思考：|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N从数轴上看,有界数数列{xn}

的全部点都落在某区间

(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••x1M3x1xx4x2••••••••••01xnx3x2x1x0………••••••••••…若xnM,MR,

则称

{

xn}有上界.若xnm,mR，

则称

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.

一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).

现在来讨论如何定义数列的无有界性：

首先看有界性定义的关键所在对所有的例证分析M单调有界定理单调有界数列必有极限

几何解释x1x5x4x3x2xnA

以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生

例.设证明数列极限存在.证:利用牛顿二项式公式,有大大正又比较可知根据单调有界定理可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)

如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一

使当n>N时,

同时有因此同时有这是不可能的.

所以只能有a=b.

证明

注:

如果M0,使对nN

有|xn|M,

则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的

收敛数列的性质定理2(收敛数列的有界性)

如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界1

如果数列{xn}收敛,

那么数列{xn}一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2

数列1,

1,1,

1,

,(1)N1,

的有界性与收敛如何？讨论收敛数列的性质定理3(收敛数列的保号性)

如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)

那么存在正整数N

当nN时有xn0(或xn0)收敛数列的性质推论4

如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)

且数列{xn}收敛于a

那么a0(或a0)柯西收敛准则

{}.,,0,0:ee<->>$>"mnn