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文档简介

第四章线性方程组第一节克拉默法则第二节齐次线性方程组第三节非齐次线性方程组研究对象：线性方程组第一节克拉默法则第二节齐次线性方程组第三节非齐次线性方程组矩阵形式：

向量组形式：

线性方程组的基本问题一、解的存在性二、解的唯一性三、解的表示方程组有解无解有唯一解有多解解的表示第一节克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即：一、克拉默法则证明二、重要定理注：线性方程组没唯一解，则方程组有多解或无解，注：齐次线性方程组总是有解的，例1

用克拉默则解方程组解例2

用克拉默法则解方程组解解（有非零解，即有多解）1.用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.2.线性方程组有唯一解的充要条件是线性方程组的系数行列式不等于零。小结：N个N元线性方程组3.线性齐次方程组只有零解的充要条件是线性方程组的系数行列式不等于零。第二节齐次线性方程组矩阵形式：（1）一、齐次线性方程组解的结构线性组合形式：1.零向量总是齐次线性方程组的解。2.齐次线性方程组的解的任意线性组合仍是它的解。3.齐次线性方程组的解全体是向量空间（解空间）。１．基础解系的定义二、基础解系及其求法注：齐次线性方程的解空间的基，改称为基础解系。说明1.齐次线性方程组总是有解的，仅分为无、有非零解，或有唯一解、有无穷解。2.齐次线性方程组无非零解（有唯一解）的充要条件是：系数矩阵是列满秩的（矩阵秩与未知数个数相同）。3.对于m=n的齐次线性方程组无非零解（有唯一解）的充要条件是：系数矩阵的行列式不为零。例齐次线性方程组有非零解：２．线性方程组基础解系的求法第1步：将系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形；第2步：分别令自由变量一个取1，其它取0，确定相应齐 次线性方程组基础解系（此时转化成方程组个数与未知数个数一致）。1,得到，确定方程组解的状况： 2,确定方程组的自由变量和非自由变量：第3步：写出齐次线性方程组的通解。如果则只有零解，解空间为0维空间；如果则有非零解，解空间为

维空间；非零行首各非零元对应的变量称为非自由变量，其它为自由变量，例2

解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为第3节非齐次线性方程组矩阵形式：

向量形式：

基本问题：1、解是否存在性，给出判别准则。2、解存在时是否唯一，给出判别准则。3、求出全部的解。基本问题方框图：方程组有解无解有唯一解有多解

解的表示

方程解的判别准则由方程组向量形式：方程组有解无解有唯一解有多解

解的表示

基本问题方框图：非线性方程组解的结构六、求解步骤第1步：将增广矩阵经过初等行变换化成阶梯型。第2步：令自由变量为零，得到非齐次线性方程组的特解。第3步：令自由变量一个取1，其它取0，确定相应齐次线性方程组基础解系。1,得到

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