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文档简介
第五节二、型的微分方程一、型的微分方程三、型的微分方程可降阶的高阶微分方程一、令因此即同理可得依次通过
n
次积分,可得含
n
个任意常数的通解.型的微分方程
特点：例1.
解:
例2.
质量为
m
的质点受力F
的作用沿ox
轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力
F
均匀地减直到t=T时
F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0
时设力F仅是时间t
的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为边解边定常数二、型的微分方程
特点：设原方程化为关于x、p的一阶微分方程设求得的通解为即再一次积分,得原方程的通解关于x、y的一阶方程例3.
求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为速度离开木板,木板对子弹的阻力大小与子弹的速度一质量为m的子弹以的速度打进
例4一块厚为的木板,穿过木板后又以
的
平方成正比,求子弹透过木板所需的时间.子弹运动方向记方程可化为解如右图建立
x
轴,设子弹透过木板所需的时间为,据题意有令,代入上述方程并分离变量得两边积分由条件,得于是,又由,有,因此由条件得,于是有因所以三、型的微分方程
特点：设故方程化为关于y、p的一阶方程设求得的通解为即分离变量积分得原方程的通解例5.
求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:在时，分离变量得例6.
解初值问题解:
令代入方程得积分得根据初始条件,积分得故所求特解为取“+”号M:地球质量m:物体质量例7.
静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:
如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由两端积分得因此有注意“－”号由于y=R
时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为小结可降阶微分方程的解法——
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