第五节奇异值分解_第1页
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第五节奇异值分解第1页，共19页。矩阵的等价标准型定理：设则存在使得右式称为矩阵A的等价标准型酉等价：设若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得则称A与B酉等价。矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。第2页，共19页。引理1证明设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则AHAx=x由于AHA为Hermite矩阵，故是实数。又同理可证AAH的特征值也是非负实数。第3页，共19页。证明设x是方程组AHAx=0的非0解，引理2则由得第4页，共19页。对于Hermite矩阵AHA，AAH，设

AHA，AAH有r个非0特征值，分别记为即：AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为第5页，共19页。奇异值的定义说明：A的正奇异值个数恰等于，并且A与AH有相同的奇异值。第6页，共19页。定理酉等价的矩阵有相同的奇异值由第7页，共19页。称为矩阵A的酉等价标准形.奇异值分解定理第8页，共19页。证明由于AHA是Hermite矩阵，存在n阶酉矩阵V,使其中将矩阵V分块，则有：第9页，共19页。比较等式两端得：从而有设第10页，共19页。即U1的r个列是两两正交的单位向量，则第11页，共19页。于是第12页，共19页。推论在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量，V的列向量为AHA的特征向量.说明：此定理仅是奇异值分解的必要条件，但不是充分条件。第13页，共19页。1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;5]构造奇异值分解4]扩充U1为酉矩阵U=(U1,U2)3]令2]记奇异值分解方法1—利用矩阵AHA求解第14页，共19页。例1、求矩阵的奇异值分解可求得的特征值为对应的特征向量依次为于是可得：令其中计算：第15页，共19页。构造：则的奇异值分解为第16页，共19页。奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;4]扩充V1为酉矩阵V=(V1,V2)5]构造奇异值分解

2]记3]令第17页

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