第八章李雅普诺夫稳定性理论

第八章李雅普诺夫稳定性理论第1页，共39页。经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)，描述函数法第2页，共39页。俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，多变量，线性，非线性，定常，时变等系统。主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数第3页，共39页。1.自治系统：输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)一.稳定性基本概念A奇异：有无穷多个A非奇异：a.线性系统系统的平衡状态3.平衡状态：2.初态=f(x,t)的解为初态第4页，共39页。b.非线性系统可能有多个令例第5页，共39页。4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。第6页，共39页。二.李雅普诺夫意义下的稳定欧几里德范数设是包含使的所有点的一个球域，而是包含使 的所有点的一个球域。

定义一

若系统 对于任意选定的 ，存在一个 ，使得当 时，恒有 ，则称系统的平衡状态是稳定的。

第7页，共39页。定义二

如果平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的，

且最后都能收敛到xe附近，即 ，其中 是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是

渐近稳定的。

第8页，共39页。定义四:如果从球域出发的轨迹，无论球域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，则称平衡状态xe为不稳定。定义三对所有的状态(状态空间的所有点)，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称平衡状态xe为大范围渐近稳定。

第9页，共39页。线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。非线性系统：稳定性与初始条件大小密切相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。第10页，共39页。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。

三.李雅普诺夫第一法（间接法）即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。李氏稳定的充要条件：1.线性定常系统稳定性的特征值判据：第11页，共39页。 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。--非线性函数在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：设非线性系统状态方程：2.非线性系统的稳定性分析：第12页，共39页。其中：--级数展开式中二阶以上各项之和第13页，共39页。上式为向量函数的雅可比矩阵。令

则线性化系统方程为：

第14页，共39页。结论：若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关。若则不稳定。若，稳定性与有关，

则是李雅普诺夫意义下的稳定性。

第15页，共39页。四.李雅普诺夫第二法(直接法)不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判定系统的稳定性。这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位置，系统应是稳定的。如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的第16页，共39页。1．标量函数的正定性与负定性设V(x)是向量x的标量函数,在x=0处有V(0)=0(1)正定:V(x)>0例如，(2)半正定: 例如(3)负定:V(x)<0例如，(4)半负定: 例如(5)不定:如果不论域取多么小，V(x)既可为正，也可为负，则称这类标量函数为不定。(一).预备知识第17页，共39页。2．二次型标量函数式中，P为实对称矩阵，即有 。第18页，共39页。P的符号性质定义如下

(1)若V(x)正定,则称P为正定,记作P>0(2)

若V(x)负定,则称P为负定,记作P<0(3)

若V(x)半正定(非负定),则称P为半正定(非负定),

记作P≥0(4)若V(x)半负定(非正定),则称P为半负定(非正定),

记作P≤0

第19页，共39页。3.希尔维斯特(Sylvester)判据Δi(i=1,2,…n)为实对称矩阵P的各阶主子行列式

第20页，共39页。矩阵P(或V(x))定号性的充要条件是:(1)若Δi>0(i=1,2,…n),则P为正定;(2)若(3)若(4)若第21页，共39页。(二)．李雅普诺夫稳定性定理定理一

设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：1)V(x，t)为正定；2) 为负定则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随 有 ，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

说明：负定能量随时间连续单调衰减。第22页，共39页。例已知系统的状态方程为解原点x=0是给定系统的惟一平衡状态试分析平衡状态的稳定性。

选取正定的标量函数负定

故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。又由于 时

第23页，共39页。设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：1)V(x，t)为正定；2) 为半负定则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理二3) 对任意 及任意 在 时不恒为零

第24页，共39页。例解原点x=0是给定系统的惟一平衡状态选取正定的标量函数当为半负定进一步研究,当时不恒为零。故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。第25页，共39页。正定负定如选故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定。又由于 时

为负定不变，第26页，共39页。设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：1)V(x，t)为正定；2) 为半负定,但在原点外的某一x处恒为零，则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，但非渐近稳定。系统保持在一个稳定的等幅振荡状态。定理三第27页，共39页。例故系统是李雅普诺夫意义下的稳定第28页，共39页。定理四设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：1)V(x,t)在原点的某一邻域内是正定的；2) 在同样的邻域内也是正定的，则原点处的平衡状态是不稳定的。第29页，共39页。例：给定系统

（1）求系统的平衡点；

（2）利用函数判断稳定性；

解

令得（1）（2）在x1,x2平面的一、三象限内

而在同一区域内所以系统不稳定第30页，共39页。推论1：当正定，半正定，且在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2：正定，半正定，若，，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。第31页，共39页。几点说明：选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致不定的结果。这仅仅是充分条件。

第32页，共39页。例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解:即设则可见与无关，故非零状态(如)有，而对其余任意状态有第33页，共39页。故半正定。令即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。推论1第34页，共39页。李雅普诺夫第二法的步骤：构造一个二次型；求，并代入状态方程；判断的定号性；判断非零情况下，是否为零。渐近稳定李雅普诺夫稳定不稳定第35页，共39页。令若成立李氏意义下稳定

若仅成立渐进稳定

半负定令若成立李氏意义下稳定

若仅成立不稳定

半正定第36页，共39页。4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析定理一线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称阵Q，有惟一的正定对称阵P使下式成立上式称为李雅普诺夫方程，而 是该系统的一个李雅普诺夫函数第37页，共39页。例解:选Q=I，设P正定，系统稳