第十一节算法初步、推理与证明

ProfessionalCourse考点1：算法初（一）算法定对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法生活：菜谱是做菜肴的算法。洗衣机的说明书是操作洗衣机的算法。（二）特征：确定性；有限性；可行性；有输入；有输出1.起止 2.输入、输出3.处理 4.判断顺序结顺序结构描述的都是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与之间是按从上到下的顺序进行条件结根据指令条件选择执行不同指令的控制结构循环结任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图考点2：推（一）演绎推从一般规律出发，运用逻辑证明或 算，得到特殊事实遵循的规律，即从一般到特 ——已知的一般原理——所研究的特殊情况结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断 都是正确的，则结论必定是正确的（二）合情推合情推理包括归纳推理和类比推从特殊到一①观察个别情况发现相同的性②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）设函数f(x)

x

(x0f1(x)f(x)

x

f2(x)f(

(x))

3xf3(x)f(

(x))

7x

f4(x)f(

(x))

15x 当nN且n2时，f(x)f( (x)) 设函数f(x)

x

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15x 当nN且n2时，f(x)f( (x))

(2n1)x类比推由两个（类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在类比推理是由特殊到特殊的推类比推理一般步找出两类对象间可以确切表述的相似特征用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得到猜想检验猜想。即观察比较、联想、推类、猜想新结论设等差数列{ann项和Sn，则S4S8S4S12S8S16S12成等数列．类比以上结论有：设等比数列{b}的前n项积为

，则

， 成等比数列

设等差数列{ann项和Sn，则S4S8S4S12S8S16S12成等

成等比数列 8

从推理形式上看演绎推理是由一般到特殊的推 的结论一定正合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明（一）比较法：做差法和做商做差法步骤：做差---变形---判断符号（与零大小关系）---结步骤：做商---变形---判断与1的大小---结法（二）综合从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等这个证明方法为综合法（也叫顺推证法或因导果法）习【练习知a,b,c为正实数，证明不等式：abc 当且仅当时取等号习【练习知a,b,c为正实数，证明不等式：abc 当且仅当时取等号【解析ab

，ac

，bc

当且仅当a=b=c时取等号分别相加可得：abc 当且仅当a=b=c时取等号法（三）分析当用综合法不易发现解题途径时，可从求证的不等式出发，逐步分 <𝑎<𝑎【证明令集合 0,1,2,3,.. 𝑛∈ 取n足够大使得1<𝑏在0,+∞上，𝑎, ∩𝐴𝑛≠又𝐴𝑛中的数字都是有理数，所以（a,b）中肯定（四）反证法与放反证明，即否定原结论---导 ---肯定原结论 下列关于反证法的认识，错误的是 反证法是一种间反证法的逻辑依据之一是排中 反证法就是证明一个命题的逆否命 下列关于反证法的认识，错误的是 反证法是一种间反证法的逻辑依据之一是排中 反证法就是证明一个命题的逆否命【答案】放缩在证明不等式时，直接证明遇到，可以利用不等式的传递性 当nn0(n0N)时，P(n)成立假设nk(kn0kNn=k+1时，P(n)也成立；1、2可得：对一切正整数nn0,命题P(n)成立设P(n)是一个与正整数有关 当nn0(n0N)时，P(n)成立假设nk(kn0kNn=k+1时，P(n)【练习】用数学归纳法证明n35n(nN*6整除【练习】用数学归纳法证明n35n(nN*6整除n1时n3+5n6能被6整除，成立假设当nk(kN*)时命题成立，即k3+5k6整除那么(k1)3+5(k1)=k3+3k2+3k+1+5k5(k3+5k3