应用数值方法改进高阶线性系统稳定性分析之研究

應用數值方法改進高階線性系統穩定性分析之研究大同技術學院資管系吳明權

壹、研究背景

科技進步神速，自動化應用日益廣泛，高階控制系統應用︰舉凡電機、電腦、土木、機械、化工工程無不涵蓋。，諸如核能電廠、高速鐵路、航太工業、國防武器、鋼廠、煉油廠等，其控制系統穩定性，非常重要，為預防災變，未雨綢繆，深入研究其穩定性，實有需要。自動化的特性自動化融合光電、材料、資訊等，使系統同時具備感覺、智慧、準確、迅速等功能，並具有下列特性:1.結合電腦高速運算，使製程連續、用時縮短。

2.易於掌握進度：減少原料庫存，增加可用資金。

3.具有重複性：製程由微電腦程式控制，重複性佳，品性穩定。

4.可集中控制：資訊由控制中心統一搜集、分析、發出指令，易於協調合作系統穩定性分析基於以上的特性，控制系統穩定性分析，必須有一組有意義的性能準則。目前穩定性的測試準則，所有理論皆牽涉到繁複的數學，不易用數學分析來簡易求解，本研究的構想為：應用數值計算的方法，選擇一種可以程式化的理論，將其理論化為流程圖，並以程式語言為工具，設計程式，測試實例，然後利用電腦的快速計算能力，求解這些數學問題，並印証其可行性。[2][3]二、研究目標本研究目標如下

1.探討目前已有的各種穩定測試理論，並比較其優缺點。[4]2.研究一個可以降階、簡化至二階方程式的方法，以現有的二次方的解題法即可求根。[6][7]3.比較根之大小，即可判別系統之穩定性並以實例驗證。

4.設計計算機程式，可彈性輸入各種特性方程式的係數，並自動反映各系統的穩定情況。

三、研究方法本研究採用歸納演繹法，包括下列部驟1.界定問題:本研究以應用數值方法，改進高階線性控制系統之穩定性分析，為主題。2.陳述假設:本研究搜集中外有關文獻，進一部分析後，提出解決問題之假設。3.演繹推理:經由演繹推理的過程，確定假設之可行性。4.蒐集並分析相關資料，經由實驗比較，考驗假設。5.肯定或拒絕假設，並提出進一步研究的領域。肆、名詞定義穩定系統的定義為：對有限的輸入或干擾，只會產生有限的反應在時間領域中個相異根的暫態響應為．Ｃ(Ｓ）＝Ｃ1er1t

+Ｃ2er2t+…+Ｃnernt

隨著時間變長，逐漸衰減至0輸出隨著時間變長，保持常態輸出負實根具有負實部的共扼複根虛軸上一對複根原點單根伍、文獻探討1.牢士赫未茲(Routh-Harwitz)準則[8]本準則的缺點為：無法準確知道根的位置，無我們只能知道系統的絕對穩定性，無法知道相對穩定度。2.根軌跡法[9,10]根軌跡法缺點是：每一根軌跡圖只能顯示一變動參數對系統的影響，多參數系統必須有多個根軌跡圖，繪圖費時，且不精確。

3.模式簡化法:必要條件設高階系統特性方程式為:F(S)=a0Sn+a1Sn-1+…+an=0ai>0i=0,1,…,n(1)(1)系統穩定之必要條件為aiai+3-ai+1ai+2<0i=0,1,…,n-3Han的簡化法將奇數階與偶數階分開，成為兩組獨立方程式如下F5io(S)=S(aiS4+ai+2S2+ai+4)(4)F5ie(S)=ai+1S4+ai+3S2+ai+5(5)i=0,1,…,n-5將S=S2，則公式4,5可以由(n-4)+1個二次方程式表示之如下aiS2+ai+2S+ai+4=0i=0,1,…,n-4(6)充分條件1&2

a.充分條件1:所有的根rij皆為負實根

b.充分條件2:兩相連續之二次方程式的兩個根，大小相間，即是ri，2〈ri＋1，2〈rri，1〈ri＋1,i(7)

i=0,1,…,n-5

陸、數值計算根據第伍節之3模式簡化法，吾人在VB.NET的IDE整合開發環境下，根據下列步驟，編寫一個VB的程式1.利用工具箱的工具，建立使用者輸出入介面(如表1)。2.設定物件屬性值。3.撰寫相關物件的程式碼。[13]使用者輸出入介面F(s)=s5+25s4+133s3+739s2+1630s+100Ex1F(s)=s6+222s5+14541s4+248420s3+1454100s2+2220000s+1000000Ex2F(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+63Ex3F(s)=s5+s4+3s3+9s2+16s+10Ex4柒、結論本研究突破了數學上的困難，以必要條件及充分條件，確認根的位置在S平面的左方，應用奇偶數次方分組降階法，求出近似根的大小，則可應用於最佳控制設計中。本研究應用數值方法，以VB.NET設計測試系統，即使不諳數學分析原理者，亦可輸入系數即可得到答案，使程式成為數學與使用者間的友善界面，而不再僅是研究所以上才能應用的高深理論，即所謂知難行易，因此亦可以列入技術學院的教材。[14][15]可傳播性本研究設計的測試系統，應用VB.NET的特性，可儲存成exe執行檔，放在網站中，供下載使用，擴大系統的可傳播性。高階系統應用日益廣泛，舉凡電機、電腦、土木、機械、化工工程無不涵

蓋，諸如核能、高鐵、航機、煉油廠，吊橋