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文档简介

第一节

大数定律1在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求,但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如,若对某一x,要计算和

而一经取极限，则有简单的结果

2事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。

3在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓“大数定律”。

在第一章中我们已经讨论了“频率的稳定性”。

大量的重复试验中，事件A发生的频率接近某个常数，这个常数实际上就是事件发生的概率。“大数”的意思，就是指试验数目是大量的。

4预备知识：切比雪夫不等式或§1大数定律

5几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）

设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤C，i=1,2,…，则对任意的有或称依概率收敛6证两边夹,即得结论.7解释:取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分大时，差不多不再是随机的了,8定理2（伯努利大数定律）或

下面给出的伯努利大数定律,是定理1的一种特例.

设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的

,有9引入i=1,2,…,n则

而

由切比雪夫大数定律，10是事件A发生的频率，

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.这就是频率稳定性的理论解释。

历史上，贝努利第一个研究了这种类型的极限定理，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现贝努利大数定律的时刻算起。

11

下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，定理3（辛钦大数定律）辛钦

辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.12

例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n

较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.13将一枚均匀对称的色子重复掷n次，则当n时，求n次掷出点数的

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