第一节随机变量的联合概率分布

第三章

多元随机变量的分布1§1

二维随机变量的联合概率分布

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.

飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.2

一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量.

由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.3一、二维离散型随机变量的联合分布律则称二维表

为(X,Y)的联合分布律。

1.联合分布45例1袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。解6例1袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。解7例2解由于所以8故(X,Y)的联合概率分布为92.边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为一个整体,用联合分布来刻画.而X和Y都是一维随机变量,各有自己的分布,称为边缘分布.设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为记作10袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为例3Y的边缘分布X的边缘分布所以的边缘分布律分别为11若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为边缘分布为12边缘分布为与还原的情况比较，但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为13说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。

143.条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量

设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.15

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.类似地，对于固定的i，若P(X=xi)>0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.16

条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：17设(X,Y)的联合分布律为例4解求在给定Y=2下随机变量X的条件分布律和在给定X=1下随机变量Y的条件分布律。因为所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为18或写为19所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为或写为20

一射手进行射击,击中目标的概率为p,(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.

依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次,n次射击击中2nn-11……………….m击中例5解21X和Y的联合概率函数为n次射击击中2nn-11……………….m击中再求边缘分布.22再求条件分布.23离散均匀分布2425二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X二、二维随机变量的(联合)分布函数2627二维随机变量分布函数的基本性质28三、二维连续型随机变量的联合概率密度1.联合分布29上的一个区域.

30设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为例6解(1)由规范性3132332.边缘分布即同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系34设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为关于X的边缘密度函数为关于Y

的边缘密度函数为35求(1)c的值；(2)两个边缘密度；解(1)设(X,Y)的概率密度是例7xy0136xy01(2)所以37xy01(2)所以38xy01393.条件分布边缘概率密度为,若对固定的x,

为在X=x的条件下，Y的条件概率密度;类似地，对一切使的y,定义为在

Y=y的条件下，X的条件概率密度.定义设X和Y的联合概率密度为则称