《电磁场与电磁波》第5章

在无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动的形式存在，并且在空间中传播，形成电磁波。第五章均匀平面波在无界媒质中的传播电磁波传播的媒介环境：无界：无障碍的自由空间（理想情况）半无界：介质表面反、折射问题有界：波导、传输线等媒介性质：无耗（非导电）有耗（导电）本章内容5.1

理想介质中的均匀平面波5.2电磁波的极化5.3

导电媒质中的均匀平面波5.4色散与群速均匀平面波的特点：在与波传播方向垂直的无限大平面内，电、磁场的振幅、方向和相位保持不变。在实际应用中，理想的均匀平面波并不存在。但某些实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍可近似看作均匀平面波。5.1理想介质中的均匀平面波均匀平面波的几个概念EHz波传播方向

均匀平面波波阵面xyo

波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面

平面波：等相位面为无限大平面的电磁波

均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变（均匀分布）的平面波：E(z),H(z)仅仅是z的函数，不是x,y的函数。5.1.1一维波动方程的平面波解

在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：电场强度矢量的解均为省略上标“.”的复矢量

考虑一种简单情况：均匀平面波电场矢量沿x方向，波沿z方向传播，则由均匀平面波性质，知只随z坐标变化，E(z)仅仅有x分量，仅仅是z的函数，不是x,y的函数。则方程组EHz波传播方向

均匀平面波波阵面xyo可以简化为：该一元二次微分方程上式为一维波动方程通解的复数表达形式，其实数表达形式为：式中:、为待定常数（由边界条件确定），表征场的幅度.的通解为：假设：则：波动方程解的物理意义

均匀平面波函数不同时刻的波形kzEx

0π2π3π首先考察。其实数形式为：从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。为表示向+z方向传播的均匀平面波函数；表示向-z方向传播的均匀平面波波函数；一维波动方程解的物理意义：沿+z,-z方向传播的均匀平面波的合成波。，由得

已知电场E求相伴的磁场H已知EHz波传播方向

均匀平面波波阵面xyo已知电场E求相伴的磁场H在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度遵循如下关系：结论（1）相互垂直：（2）相位相同：EHz波传播方向

均匀平面波波阵面xyo之间符合右手螺旋关系为实数。同理：问题:为什么有“-”？5.1.2无界理想媒质中均匀平面波的传播特性在无界媒质中，若均匀平面波向+z向传播，且电场方向指向方向，则其电场场量表达式为：由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性均匀平面波的传播参数周期T

：时间相位变化2π的时间间隔，即角频率、频率和周期角频率ω

：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s

频率f

：

t

T

o

xE

的曲线波长与相位常数波长λ

：空间相位差为2π

的两个波阵面的间距，即相位常数

k

：表示波传播单位距离的相位变化

o

xE

lz的曲线两边对时间t去导数，得：相位速度（波速）相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度波形中任意一点处的相位为等相位面为：=t-kz+1=常数所以t↑时必须z↑才能保证不变真空中电磁波的相位速度：关于波的相速的说明

电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关

：一切媒质：r>1，r1，→v<c，即理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。定义：电场强度的振幅与磁场强度的振幅之比。表达式：

证明：由麦克斯韦第二方程得

媒质本征阻抗（波阻抗）——媒质本征波阻抗

特殊地：真空（空气）的本征阻抗为：

在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。

场量，的关系式中：为表示波传播方向的单位矢量同理可以推得：、、三者相互垂直，且满足右手螺旋关系当时，其相伴的磁场为当时，其相伴的磁场为对于均匀平面电磁波，有：重要结论：沿＋Z方向传播的均匀平面波复数形式表达式为：其瞬时形式表达式为：由此可见，在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，且两者空间相位均与变量z有关，但振幅不会改变。左图表示t=0时刻，电场及磁场随空间的变化情况。HyExzyx

已知z为传播方向，可见无论电场或磁场均与传播方向垂直，即对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此这种电磁波称为横电磁波，或称为TEM波。均匀平面波是TEM波，以后我们将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。EHHyExzyxTEM波的定义两边取平方得：两边取模即理想介质中均匀分布的电场能量密度等于磁场能量密度电磁能量密度：理想介质中电场能量密度与磁场能量密度恒等式理想介质中瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量恒等式●

电场与磁场的振幅不变(无衰减)且相差一个因子，E＝H；●

电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。E、H、en

（波的传播方向）呈右手螺旋关系，是横电磁波（TEM波）；●

波阻抗为实数，电场、磁场同相位，即时空变化关系相同；●

电磁波的相速于频率无关(无色散)；●

电场能量密度等于磁场能量密度。能量的传输速度等于相速无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结例频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+Z方向传播，介质的特性参数为。设电场沿x方向，即。已知：当t=0,z=1/8m时，电场等于其振幅。试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（2）电场和磁场的瞬时表达式；（3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。解：由已知条件可知：频率:

振幅:(1)由条件，可知：由已知条件:当t=0,z=1/8

m时，电场等于其振幅

，可得：(2)设(3)另解：例5.1.2频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为εr=2.26。若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。解：由题意因此

例已知自由空间中传播的均匀平面波的电场表示式为，试求在z=z0处垂直穿过半径为R=2.5m的圆平面的平均功率。解：电场的复数表示式为

磁场表示式为

垂直穿过半径R=2.5m的圆平面的平均功率为5.1.3沿任意方向传播的均匀平面波

沿+z方向传播的均匀平面波其电场矢量可一般表示为相应的磁场矢量其等相位面为Z=const常数也可表示为其中为等相位面上任一点的位置矢径。rxyz波的等相位面P(x,y,z)则电场矢量相伴的磁场若均匀平面波沿en方向传播如图5.1.3所示。yxzr图5.1.3沿任意方向传播的波P于是沿+z方向传播的均匀平面波可写为沿任意方向传播的均匀平面波总结沿+z方向传播的均匀平面波沿

传播方向的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波

波传播方向

z

y

x

o

rne等相位面

P(x,y,z)yzxo沿＋z方向传播的均匀平面波P(x,y,z)波传播方向r等相位面

关于平面波场量一般表达式的进一步讨论均匀平面波电场场量的一般表达式一般情况下，在直角坐标系下，

例5.1.4频率f=500kHz的均匀平面波，在的无损耗媒介质中传播。已知求：（1）传播方向；（2）和

解：（1）（2）自由空间中，电磁波为TEM波，电场矢量幅度随时间按正弦规律改变。xyzEHO理想介质中均匀平面波的和EH5.2电磁波的极化沿＋Z方向传播的均匀平面波复数形式表达式为：其瞬时形式表达式为：

问题的提出：1、什么是电磁波的极化？电磁波的极化：表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性。5.2电磁波的极化yxo观察平面，z=constz均匀平面波的电场矢量端点轨迹为直线：线极化

问题的提出：1、什么是电磁波的极化？

问题的提出：2、为什么要讨论电磁波的极化？电磁波的发射与接收，必须要考虑电磁波电场矢量方向(极化方向)与天线形式匹配电磁波的极化是电磁理论中的一个重要概念线天线接收电磁波原理在天线上激励起电流，电磁波被接收未在天线上激励起电流，电磁波没有被接收

波的极化描述方法一、极化的基本概念

在电磁波传播空间定点处，电场强度矢量的终端端点随时间变化的轨迹形状。

极化的三种基本形式三种基本极化方式：线极化、圆极化、椭圆极化

线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段

极化的三种基本形式：线极化、圆极化、椭圆极化

线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段

圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆

椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆问题:只有x分量的电场强度端点轨迹只能在x轴上，怎样形成这样的轨迹？沿+z方向传播的均匀平面波，其电场的一般形式为：其中：t=constyxo观察平面，z=constz沿x轴极化的特例仅仅考虑了形如 的极化方式。yzxo问题答案:沿x轴、沿y轴极化的两个线极化波的合成，端点轨迹即可出现这样的轨迹。-----定性分析结论:

线极化

圆极化

椭圆极化问题:轨迹的参数：直线的斜率、圆半径、旋转方向等由哪些因素决定----定量分析合成电磁波的极化方式合成电磁波的电场为：决定合成波极化方式的因素：两个线极化波的幅度及相位。形成轨迹决定轨迹形状二、电磁波的极化合成即：通过合成波的表达式分析，确定轨迹的参数：直线的斜率、圆半径、旋转方向等当时：线极化波合成波电场矢量终端轨迹为线段——线极化波两个极化方向互相正交的线极化波，当二者相位相同或相差为±π时，合成波为线极化波。合成波电场矢量终端轨迹为线段——线极化波当时：圆极化波当且时合成波电场矢量终端轨迹为圆，且电场矢量旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系——右旋圆极化波当且时合成波电场矢量终端轨迹为圆，且电场矢量旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系——左旋圆极化波Ev合椭圆极化波其它情况下，令，则可得到椭圆极化波特点：场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。电磁波极化判断结论线极化：φ

＝0、±

。φ＝0，在1、3象限；φ＝±

，在2、4象限。

椭圆极化：其它情况。

0<φ

<

，左旋；－<φ＜0，右旋。圆极化：φ＝±

/2，Exm＝Eym

。取“+”，左旋圆极化；取“-”，右旋圆极化。电磁波的极化状态取决于Ex和Ey

的振幅Exm、Eym

和相位差

φ＝φy-φx对于沿+z方向传播的均匀平面波：

例5.2.1判别下列均匀平面波的极化形式：

解：为线极化波，在2、4象限。写成瞬时标准形式写成瞬时标准形式zyx右旋圆极化波传播方向为-z轴

例5.2.2已知一线极化波的电场，将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。

解：设旋向相反的圆极化波分别为其中和为待定常数。令即由此可解得：显然有故两个振幅相等、旋向相反的圆极化波分别为5.3导电媒质中的均匀平面波导电媒质的典型特征是电导率≠0。电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E存在，同时伴随着电磁能量的损耗。电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。5.3.1导电媒质中的均匀平面波

5.3.2弱导电媒质中的均匀平面波

5.3.3良导体中的均匀平面波

讨论内容

5.3.1导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的亥姆霍兹方程在无源(ρ=0)的导电媒质区域中，复矢量形式的麦克斯韦方程为：称为复介电常数或等效介电常数第一个方程可以改写为则导电媒质中的亥姆霍兹方程为：比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于导电媒质中的波动方程的解在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的均匀平面波解为：式中：为复数。瞬时值形式.振幅有衰减称为电磁波的传播常数，单位：1/m是衰减因子，称为衰减常数，单位：Np/m（奈培/米）是相位因子，称为相位常数，单位：rad/m（弧度/米）令，则定义：电场强度的振幅与磁场强度的振幅之比。表达式：

证明：由麦克斯韦第二方程得

复波阻抗∴相伴的磁场本征阻抗为复数磁场相位滞后于电场导电媒质本征阻抗：导电媒质中的电场与磁场非导电媒质中的电场与磁场理想媒质中导电媒质中导电媒质的电场：导电媒质中的本征阻抗

其中：证明：导电媒质中的本征阻抗

其中：证明：σ↑时，电场强度的振幅与磁场强度的振幅之比↓σ→∞时，电场强度的振幅与磁场强度的振幅之比→0σ↑时，磁场强度滞后电场强度的相位↑σ→∞时，磁场强度滞后电场强度的相位→45°导电媒质中的平面波的传播特性

传播参数γ假设：αβ未知，εμω已知导电媒质中的平面波的传播特性

传播参数γ瞬时值形式.导电媒质中的平面波的传播特性周期频率

ωT

o

xE

时间相位变化2π的时间间隔，即:频率

：瞬时值形式.

采用时间观察方式，取波长:空间相位变化2π时的空间距离:

o

xE

导电媒质中的波长比理想介质中的短。波长相速vp：电磁波的等相位面在空间移动的速度.电磁波在导电媒质中传播时，其相速度将变慢。相速度

色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波。结论：导电媒质（损耗媒质）中的电磁波为色散波。相速度与电磁波的频率有关导电媒质中的相速：理想介质中的相速：

场量，的关系可以推知：在导电媒质中，场量，之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即：式中：为波传播方向为导电媒质本征阻抗讨论：(1)、、三者相互垂直，且满足右手螺旋关系

(2)

在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位。导电媒质中的电场与磁场能量密度电场能量密度：磁场能量密度：结论：导电媒质中均匀平面波的磁场能量大于电场能量。平均能流密度恒等式导电媒质中理想介质中衰减快于场量为横电磁波（TEM波），、、三者满足右手螺旋关系无界导电媒质中均匀平面波的传播特性总结磁场能量大于电场能量。媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于电场角；在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而且与频率有关，为色散波；5.3.2媒质导电性对场的影响问题？仅使用σ作为媒质导电性能强弱的分类参数可以吗？瞬时值形式.是衰减因子，称为衰减常数。反映了媒质导电能力的强弱除了与σ有关之外，还与ω有关。因此：仅使用σ作为媒质导电性能强弱的分类参数，不合理。媒质导电性能强弱的评价，需要同时考虑2个参数：σ：媒质导电率ω：电磁波的频率5.3.2媒质导电性对场的影响对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由决定。的物理意义：导电媒介质中传导电流与位移电流的振幅之比。证明：复矢量的麦克斯韦方程组第一方程传导电流位移电流5.3.2媒质导电性对场的影响从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个相对的概念。金、银、铜、铁、铝等金属对于无线电波均是良导体。例如黄铜（导电率：1.6×107）：

当σ、ε为定值时，传导电流J=σE为定值。ω↑时，位移电流Jd=jωεE

↑，J/Jd=σ/(ωε)↓，导电能力减弱。一、弱导电媒介质中的均匀平面波1、常数的近似相位常数衰减常数2、弱导电媒质中本征阻抗的近似3、均匀平面波在弱导电媒质中和理想介质中传播特点对比且足够小理想介质中：理想介质中：

结论：均匀平面波在两种介质中的传播特性基本相同。（除了在弱导电媒质中有一定损耗所引起的衰减）弱导电媒质中均匀平面波的特点:相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等:衰减小；电场和磁场之间存在较小的相位差。二、良导体中的均匀平面波忽略11、常数的近似

物理意义：在导电体中，电磁波的衰减常数，随波的频率f、媒质中磁导率和电导率的增大而增大。2、趋肤效应与趋肤深度1）趋肤效应的定义2）趋肤深度的定义：电磁波的振幅衰减为表面值的时，电磁波所传播的距离。 电场强度与磁场强度因

较大，两者振幅发生急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，仅可存在其表面附近，这种现象称为趋肤效应。趋肤深度：证：电磁波的振幅衰减为表面值的时，电磁波所传播的距离。此式表明，集肤深度与频率f

及电导率成反比。趋肤深度对于同一频率的电磁波（f不变）σ↑时，趋肤深度δ↓；σ↓

时，趋肤深度δ↑；σ→0时，趋肤深度δ→∞，无衰减。趋肤深度：证：电磁波的振幅衰减为表面值的时，电磁波所传播的距离。此式表明，集肤深度与频率f

及电导率成反比。趋肤深度对于同一种导电媒质（σ不变）f↑时，趋肤深度δ

↓；f↓时，趋肤深度δ

↑；趋肤深度：物理意义：

在良导体中电磁波的趋肤深度随波频率f、媒质的磁导率σ的增加而减小。电磁波的振幅衰减为表面值的时，电磁波所传播的距离。在良导体中：铜σ＝5.8×10－7μ＝4π×10－7频率50Hz1MHz10GHzδ(m)9.33×10－36.6×10－56.6×10－7零件使用性能要求：高的表面硬度（HRC50～58）、强度和疲劳强度，较好的心部塑性和韧性。采用热处理工艺：表面淬火

趋肤效应的工程应用：钢的表面高频淬（zàn）火快速灵活的感应加热表面淬火●感应加热的频率选择及应用特点：(1)加热速度快、时间短，表面淬火可得极细的马氏体。(2)工件表面存在残余压应力，可提高疲劳强度(3)工件不易氧化、脱碳，变形小。(4)易于自动化，生产率高。(5)设备昂贵(6)不适合形状复杂的工件。

3.本征阻抗的近似重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位忽略良导体中电磁波的性质波阻抗：波长：相速：表面电阻RS与表面电抗XS

：

表5.3.1一些金属材料的趋肤深度和表面电阻材料名称电导率σ

/(S/m)趋肤深度δ

/m表面电阻RS/Ω银6.17×107紫铜5.8×107铝3.72×107钠2.1×107黄铜1.6×107锡0.87×107石墨0.01×107例

一沿x方向极化的线极化波在海水中传播，取+z轴方向为传播方向。已知海水的媒质参数为εr=81、μr=1、σ=4S/m，在z=0处的电场Ex=100cos(107πt)V/m。求：（1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；（2）电场强度幅值减小为z=0处的1/1000时，波传播的距离（3）z=0.8m处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；（4）z=0.8m处穿过1m2面积的平均功率。解：（1）根据题意，有所以此时海水可视为良导体。故衰减常数相位常数本征阻抗相速波长趋肤深度（2）令e-αz＝1/1000，即eαz＝1000，由此得到电场强度幅值减小为z=0处的1/1000时，波传播的距离故在z=0.8m

处，电场的瞬时表达式为