应用光学(第二章)

第二章

共轴球面系统的物像关系1/12/20231

透镜是构成光学系统最基本的成像元件，它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通过透镜时会在这些面上发生折射。因此要研究透镜成像规律必须先了解单个球面的成像规律。1/12/20232§2-1

符号规则（§2-2）

若干概念与术语※C：球面曲率中心。※OE：透镜球面，也是两种介质n与n’

的分界面。※OC：球面曲率半径,r。※O：顶点。※h：光线投射高度。EOhCnn’r1/12/20233哈工大光电测控技术与装备研究所※子午面:

包含物点（或物体）和光轴的光路截面。※

单个折射球面的结构参数：

r,n,n’。给定了结构参数和物点A后，即可确定A点的像。AEOhCnn’r1/12/20234哈工大光电测控技术与装备研究所-U※

物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距，用L

表示。※

入射光线AE与光轴的夹角为物方倾斜角也叫物方孔径角，用U

表示。AEOhCnn’r-L1/12/20235哈工大光电测控技术与装备研究所折射光线EA’由以下参量确定：※像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。※像方倾斜角：折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’

表示。AEOhCnn’r-L-UA’L’U’像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“

’

”相区别。1/12/20236哈工大光电测控技术与装备研究所只知道无符号的参数，光线可能有四种情况。要确定光线的位置，仅有参量是不够的，还必须对符号作出规定。1/12/20237哈工大光电测控技术与装备研究所符号规则（一）光路方向从左向右为正向光路，反之为反向光路。正向光路反向光路1/12/20238（二）线段沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。原点+原点-1/12/20239哈工大光电测控技术与装备研究所※原点规定：（1）曲率半径

r,以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。EAO+rCAEC-rO1/12/202310哈工大光电测控技术与装备研究所

（2）物方截距L

和像方截距L’

也以顶点O为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。AA’-L+L’EOCAEC-L’-LA’O1/12/202311哈工大光电测控技术与装备研究所（3）球面间隔d以前一个球面的顶点为原点，向右为正，向左为负。（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）O1O2O1O2O1O2+d+d-d1/12/202312哈工大光电测控技术与装备研究所2.垂轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负。AB+yOEC+hA’B’-y’1/12/202313哈工大光电测控技术与装备研究所（三）角度※角度的度量一律以锐角来度量，由起始边顺时针转到终止边为正，逆时针为负。※起始边规定如下：（1）光线与光轴的夹角，如U,U’,以光轴为起始边。-UU’AB-LyOECrL’A’B’h-y’1/12/202314哈工大光电测控技术与装备研究所（2）光线与法线的夹角，如I,I’,以光线为起始边。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’I-I”I’-I”-I’1/12/202315哈工大光电测控技术与装备研究所（3）入射点法线与光轴的夹角φ（球心角），以光轴为起始边。AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’φ1/12/202316哈工大光电测控技术与装备研究所练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置（1）r=-30mm,L=-100mm,U=-10°（2）r=30mm,L=-100mm,U=-10°（3）r1=100mm,r2=-200mm,d=5mm,L=-200mm,U=-10°（4）r=-40mm,L’=200mm,U’=-10°（5）r=-40mm,L=-100mm,U=-10°,L’=-200mm1/12/202317哈工大光电测控技术与装备研究所

符号规则是人为规定的，一经定下，就要严格遵守，只有这样才能导出正确结果1/12/202318哈工大光电测控技术与装备研究所§2-2光学系统类别和成像概念

（§1-6）※光学系统的作用之一是对物体成像，因此必须搞清物像的基本概念和它们的关系。※物体通过光学系统（光组）成像，光学系统(各种光学仪器)由一系列光学零件组成。。※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线，称为光轴。这种系统被称为“共轴系统”光轴1/12/202319哈工大光电测控技术与装备研究所在光学仪器中最常用的光学零件是透镜，目前绝大多数是球面透镜（系统）。双凸正月牙平凸平凹负月牙双凹由这些球面系统（透镜）组成的光学系统有对称轴，也称为共轴球面系统1/12/202320哈工大光电测控技术与装备研究所由两个球面构成的透镜中，通过两球面球心的直线为光轴。光轴顶点光轴与透镜面的交点称为：顶点1/12/202321哈工大光电测控技术与装备研究所若有一个面为平面，则光轴通过球面的球心与平面垂直。光轴顶点1/12/202322哈工大光电测控技术与装备研究所透镜分两大类（1）正透镜：中心比边缘厚度大，起会聚作用（2）负透镜：中心比边缘厚度小，起发散作用1/12/202323哈工大光电测控技术与装备研究所物像的虚实※由实际光线成的像，称为实像。

在凸透镜2f外放一个点燃的蜡烛，后面放一个纸屏，当纸屏放到某一位置时，会在屏上得到蜡烛清晰的像。如电影，幻灯机，照相机成像1/12/202324哈工大光电测控技术与装备研究所

有的光学系统成的像，能被眼睛看到，却无法在屏上得到这些像不是由实际光线相交得来，而是由实际光线的反向延长线相交得来。※由反射或折射光线的反向延长线相交所得的像称为虚像如照镜子，显微镜，望远镜等。F’F’1/12/202325哈工大光电测控技术与装备研究所与像类似，物也分两种※实物：自己发光的物体。※虚物：不是由实际光线而是由光线的延长线相交而成的物。虚物不能人为设定，它是前一系统所成的像被当前系统截取得到的。如灯泡、蜡烛等，也可以是被照明后发光的物体，如人物，景物等。AA’A1/12/202326哈工大光电测控技术与装备研究所请判断物与像的虚实AA’AA’AA’AA’a.实物成实像b.实物成虚像c.虚物成实像（对于第二个透镜）d.虚物成虚像1/12/202327哈工大光电测控技术与装备研究所判断虚实小窍门：※实物，虚像对应发散的同心光束。※虚物，实像对应汇聚的同心光束。照相机实物物的虚像照相机的实物1/12/202328哈工大光电测控技术与装备研究所注意：物、像的概念是相对于光组来说的B1L1L2ABB’A1A’对于L1而言，A1B1是AB的像;对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中间像1/12/202329哈工大光电测控技术与装备研究所※物所在的空间为物空间，像所在的空间为像空间，两者的范围都是

（-∞,+∞）※

通常对于某一光学系统来说，某一位置上的物会在一个相应的位置成一个清晰的像，物与像是一一对应的，这种关系称为物与像的共轭。1/12/202330哈工大光电测控技术与装备研究所§2-3共轴球面系统中的光路计算公式

（§2-1）当结构参数r,n,n’

给定时，只要知道

L

和U，就可求L’

和U’AEOCnn’r-L-U1/12/202331哈工大光电测控技术与装备研究所△AEC中，－L＋r=AC,并由正弦定理可得：第一步：连接CEA-LOE-UCrIφnn’1/12/202332哈工大光电测控技术与装备研究所第三步：由图可知则可知U’

的大小:则可求I’

的大小；第二步：由E点作出射光线，由折射定律A-LOE-UCrA’U’II’φnn’1/12/202333哈工大光电测控技术与装备研究所第四步：在△EA’C中，CA’

=L’-r,由正弦定理，可得A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’1/12/202334哈工大光电测控技术与装备研究所上述四个公式就是子午面内光路计算的大L计算公式，当n,n’,r

和L,U

已知时，可依次求出U’

和L’。子午面内光路计算大L计算公式1/12/202335哈工大光电测控技术与装备研究所当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有L＝－∞，U＝0然后再按其它大L公式计算OECrIφnn’h入射角可以按计算1/12/202336哈工大光电测控技术与装备研究所例：已知一折射球面其r=36.48mm，n=1，

n’

=1.5163。轴上点A的截距L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’

和像方倾斜角U’

）AEOCnn’-240mm§2-4球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式（§2-3）1/12/202337哈工大光电测控技术与装备研究所U=-1°:U’=1.596415°L’=150.7065mmU=-2°:U’=3.291334°L’=147.3711mmU=-3°:U’=5.204484°L’=141.6813mm1/12/202338哈工大光电测控技术与装备研究所可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。减小像差的途径：（1）多个透镜组合（2）采用非球面透镜！AEOCnn’-240mm1/12/202339哈工大光电测控技术与装备研究所※

这种通过公式来计算光线实际光路的过程称：光路追迹。光学计算位数较多，较繁复，为了避免计算错误，在求出U’

后，还可以用下面校对公式进行验算此公式不再推导。1/12/202340哈工大光电测控技术与装备研究所

折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑，在光学上称其为弥散斑。

一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。

将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴的光线，只考虑近轴光成像，这是可以认为可以成完善像1/12/202341哈工大光电测控技术与装备研究所

这时U，U’，I，I’都很小，我们用弧度值来代替它的正弦值，并用小写字母表示。同时L，L’也用小写表示。1/12/202342哈工大光电测控技术与装备研究所则大L公式可写成：称为小l

公式（2－1）（2－2）（2－4）1/12/202343哈工大光电测控技术与装备研究所当无限远物点发出的平行光入射时，有继续用其余三个公式。小l公式也称为近轴光线的光路追迹公式OECriφnn’h1/12/202344哈工大光电测控技术与装备研究所例2：仍用上例的参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163l=-240mm,

sinU=u=-0.017，求：l’,u’

与大L公式计算的结果比较：L’=150.7065mm.（1°）1/12/202345哈工大光电测控技术与装备研究所可得：左边是物方参量，右边是像方参量如将和中的i,i’

代入§2-5近轴光学的基本公式和它的实际意义（§2-4）一、物像位置关系式1/12/202346哈工大光电测控技术与装备研究所

对于近轴光而言，AE=-l，EA’=l’,tgu=u,tgu’=u’有：lu=l’u’=hA-lOE-uCrA’u’ii’φnn’l’h将上式代入，消去l,l’,整理后得：1/12/202347哈工大光电测控技术与装备研究所也可表示为将代入，消去u和u’

,可得lu=l’u’

=h上式称为单个折射球面物像位置公式1/12/202348哈工大光电测控技术与装备研究所

上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式，中间的公式表示成不变量Q的形式，称为“阿贝不变量”。※它表明：当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。1/12/202349哈工大光电测控技术与装备研究所

给出了u

和u’

的关系给出了l

和l’

的关系其中：1/12/202350哈工大光电测控技术与装备研究所由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l’

与u

无关。这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。※由近轴细光束成的完善像称为高斯像※光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。1/12/202351哈工大光电测控技术与装备研究所在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正弦展开成级数，可得：用θ代替了sinθ，误差是后面各项的和。θ愈大，误差愈大，θ很小时才有足够的精度。误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差的大小来确定。例：

θ<5o1/12/202352哈工大光电测控技术与装备研究所

轴上点成像只需知道位置即可，但如果是有一定大小物体经球面成像后，只知道位置就不够了，还需知道成像的大小、虚实、倒正。二、物像大小关系式1/12/202353哈工大光电测控技术与装备研究所（一）垂轴放大率垂直于光轴，大小为y

的物体经折射球面后成的像大小为y’

,则β称为垂轴放大率或横向放大率A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’1/12/202354哈工大光电测控技术与装备研究所△ABC∽△A’B’C

有：由阿贝不变量公式可得：代入上式可得：可见β只取决于介质折射率和物体位置。A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’1/12/202355哈工大光电测控技术与装备研究所根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性：（1）若β>0,

即y

与y’

同号，表示成正立像。反之成倒立像。对横向放大率的讨论1/12/202356哈工大光电测控技术与装备研究所（2）若β>0,

即l

与l’

同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l

与l’

异号，物像虚实相同。可归结为：β>0,成正立像且物像虚实相反。

β<0,成倒立像且物像虚实相同。l’l1/12/202357哈工大光电测控技术与装备研究所（3）若|β|>1,

则|y’|>|y|，成放大像，反之|y’

|<|y|，成缩小像

还可发现，当物体由远而近时，即l变小，则β增大！！成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要！！！1/12/202358哈工大光电测控技术与装备研究所（二）轴向放大率

轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动dl

时，所引起的像点移动量dl’

与dl

之比，用α表示。对公式微分，有1/12/202359哈工大光电测控技术与装备研究所整理后由于所以1/12/202360哈工大光电测控技术与装备研究所（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。（2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。讨论：（3）公式应用条件：dl很小。由得到以下结论：1/12/202361哈工大光电测控技术与装备研究所（三）角放大率在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u’

与u

的比值，用γ表示A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’1/12/202362哈工大光电测控技术与装备研究所将式

lu=l’

u’=h代入上式可得上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。

角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关1/12/202363哈工大光电测控技术与装备研究所将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：上式为三种放大率的关系。即：将代入可得：1/12/202364哈工大光电测控技术与装备研究所J称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变u’

来控制y’

的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或n’，u’，y’的乘积为一常数J。1/12/202365哈工大光电测控技术与装备研究所例2-3：已知一个光学系统的结构参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163l=-240mm,y=20mm已求出：l’=151.838mm，现求β,y’

（横向放大率与像的大小）解：β<0：|β|<1：缩小倒立、实像、两侧1/12/202366哈工大光电测控技术与装备研究所上例中，若l1=-100mm，l2=-30mm,

求像的位置大小。当l1=-100mm时：

l1’=365.113mm

β1=-2.4079 y1’=-

48.1584mm放大倒立实像，两侧利用公式1/12/202367哈工大光电测控技术与装备研究所当l2=-30mm时：

l2’=-79.0548mm

β2=1.7379y2’=34.7578mm放大正立虚像同侧1/12/202368哈工大光电测控技术与装备研究所一.转面公式由两个折射面组成的透镜，均已知。现在已知

l1

和

u1，要求l2’

和u2’A1’=A2A1O1O2n1n2’n1’=n2-l1u1u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’§2-6物像空间不变式(§2-11)1/12/202369哈工大光电测控技术与装备研究所（1）用公式小l

公式算出光线经第一个折射面后的像方截距l’1和孔径角u1

’问题分两步解决：A1O1n1n1’-l1u1u1’l1’A1’1/12/202370哈工大光电测控技术与装备研究所（2）将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用小l公式求解最终的l’2和u2

’将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数，称为转面公式。注意：O1O2n2’n1’=n2u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’A1’=A21/12/202371哈工大光电测控技术与装备研究所推而广之，如果有k

个折射球面，也必须先给定光学系统的结构参数：（1）每个球面的曲率半径r1，r2……rk（2）每个球面间隔

d1，d2……dk（3）每个球面间介质折射率

n1，n’1=n2，n’2=n3……n’k-1=nk

，最后一个面后的折射率为n’k.1/12/202372哈工大光电测控技术与装备研究所反复应用小l公式进行计算，此时，前一个面的像空间就是后一个面的物空间。参数关系：※

上述公式为共轴球面系统近轴光线计算的转面公式，它对于宽光束成像也适用，只需将小写字母u

和l换成大写即可。1/12/202373哈工大光电测控技术与装备研究所由于：有：这就是光线高度转面公式

的一般形式，在计算时如u1

和h1

已知，则可算出hk

和u’k将公式两式中对应项相乘，可得：1/12/202374哈工大光电测控技术与装备研究所二、拉赫公式由第一面，有拉赫公式同样第二面，有而所以有这说明，拉赫不变量不仅对于一个面的物像空间，而且对于整个系统的每一个面都是不变量。利用这一点，我们可以对计算结果进行检验1/12/202375哈工大光电测控技术与装备研究所三、放大率公式（一）横向放大率由于y’1=y2,y’2=y3……上式可以写成：整个系统的横向放大率是各个折射面放大率的乘积1/12/202376哈工大光电测控技术与装备研究所若将代入，可得：还可得到：由拉赫公式1/12/202377哈工大光电测控技术与装备研究所（二）轴向放大率对转面的一般公式进行微分后，可得：说明整个光学系统的轴向放大率是各个折射面放大率的乘积将代入还可得到：1/12/202378哈工大光电测控技术与装备研究所（三）角放大率根据转面的一般公式可变换为：（四）三者关系很明显，为：将代入可得：1/12/202379哈工大光电测控技术与装备研究所成像计算中有两种方法：方法1：

对每一面用追迹公式及转面公式1/12/202380哈工大光电测控技术与装备研究所方法2：

对每一面应用物像位置公式及转面公式当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多采用方法1。1/12/202381哈工大光电测控技术与装备研究所§2-7理想像和理想光学系统

(§1-7)

共轴球面系统只有在近轴区才能成完善像,而对于宽光束,当u较大时，成像就不完善，存在像差。其它原因：（1）光束太细，进入光学系统的能量太弱，成像太暗。（2）只能对物面上很小的部分成像，不能反映全貌。1/12/202382哈工大光电测控技术与装备研究所

只能对细光束成完善像的光学系统是无实用价值的！

寻找一个能对较大范围、较粗光束及较宽波段范围都能成满意像的光学系统，就是应用光学所需要解决的中心问题。到哪里找这样的系统呢？1/12/202383哈工大光电测控技术与装备研究所为了揭示物、像、成像系统三者之间的内在联系，可暂时抛开成像系统的具体结构，将一般仅在光学系统近轴区存在的完善像拓展成在任意大的空间以任意宽光束都能完善成像的理想模型，即称为理想光学系统，又称为高斯光学系统（1841年由高斯提出）。1/12/202384哈工大光电测控技术与装备研究所理想光组的成像作为衡量实际光学系统成像质量的标准◆进行光学设计的时候，开始只是提出性能要求，如放大倍数等。这时，光组的具体参数是未知的，因此无法用近轴光学公式计算。为什么要研究理想光学系统？1/12/202385哈工大光电测控技术与装备研究所

由理想光组所抽象出来的光学特征公式进行光组的初始计算，也就是以理想光组理论为基础，根据要求，寻找和确定一个能满足要求的光学系统的整体方案。称为光学系统的外形尺寸计算，也称轮廓计算1/12/202386哈工大光电测控技术与装备研究所

理想光组可有任意多个折、反射球面或多个光组组成。寻找理想光组的特征点、面就可以代表整个光组的光学特性，用以讨论成像规律。1/12/202387哈工大光电测控技术与装备研究所P•A•A’P’O1OkBCC’B’理想光学系统，物像关系具有以下性质：（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这种一一对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭点。（2）物空间中每一条直线对应于像空间中唯一相应直线，这两条直线称为共轭线。1/12/202388哈工大光电测控技术与装备研究所D’D（3）物空间中每一个平面对应于像空间中唯一平面，这两个面称为共轭面。（4）如果物空间任意一点D位于直线BC上，那么其在像空间的像D’也必位于BC的共轭线B’C’上。P•A•A’P’O1OkCC’B’B1/12/202389哈工大光电测控技术与装备研究所※

把这种点对应点，直线对应直线，平面对应平面的成像变换称为共线成像，上述定义称为共线成像理论。1/12/202390哈工大光电测控技术与装备研究所§2-8共轴理想光学系统的基点—主平面和焦点（§2-5、2-6、2-7）共轴球面系统：

球面的曲率中心在同一轴线上的光学系统

只要找到相邻球面之间的关系，就可以解决整个光学系统的光路计算问题。问题就是这么简单！

前面讨论的单个折射球面的光路计算及成像特性，对构成光学系统的每个球面都适用。1/12/202391哈工大光电测控技术与装备研究所理想光组有一些特殊的点和平面，利用它们来讨论光组的成像特性，可以使问题大大的简化。※表征光组特性的点、面称为基点和基面大家可要做好笔记呦！共轴理想光学系统的基点和基面1/12/202392哈工大光电测控技术与装备研究所（一）无限远轴上物点发出的光线

h

是轴上物点A发出的一条入射光线的投射高度－Uh－LA由三角关系：1/12/202393哈工大光电测控技术与装备研究所当

即物点向无限远处左移时，由于任何光学系统口径有限，所以此时※即无限远轴上物点发出的光线与光轴平行h－L1/12/202394哈工大光电测控技术与装备研究所（二）像方焦点、像方焦平面；像方主点、主平面；像方焦距AU’F’

E’hE※

F’

就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点AE

是一条平行于光轴的入射光线它通过理想光学系统后，出射光线E’F’交光轴于F’1/12/202395哈工大光电测控技术与装备研究所※过F’

点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面将AE延长与出射光线E’F’的反向延长线交于Q’通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，※

则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点AU’F’

E’hEQ’

H’

1/12/202396哈工大光电测控技术与装备研究所※从像方主点H’

到像方焦点F’

之间的距离称为像方焦距，用

f’表示

f

’也遵从符号规则，它的起始原点是像方主点H’根据三角关系，有：AU’F’

E’hEQ’

H’

f’

1/12/202397哈工大光电测控技术与装备研究所-w（三）无限远轴外物点发出的光线F'无限远轴外物点发出的能够进入光学系统的光线总是相互平行的，光线与光轴有一定的夹角，用w

表示。这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点的共轭像。1/12/202398哈工大光电测控技术与装备研究所（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、

主平面；物方焦距E’hF－UE※如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由F发出的光线经光组后与光轴平行，则F

称为系统的物方焦点。B1/12/202399哈工大光电测控技术与装备研究所QE’B的反向延长线与FE交于Q，过Q点做与光轴垂直的平面，与光轴交于H点。※

则QH平面称为物方主平面，H点称为物方主点。※从物方主点H

到物方焦点F

之间的距离称为物方焦距，用

f

表示

f

也遵从符号规则，它的起始原点是物方主点H。这里为-fE’hF－UEH-fB1/12/2023100哈工大光电测控技术与装备研究所（五）物方主平面与像方主平面之间的关系光学系统E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh入射高度为h的AE1的延长线与Pk

F’的反向延长线决定了Q’根据光路的可逆性，入射高度同样为h的BEk

的延长线和P1F

的反向延长线交于Q。由于这两组光线是共轭的，所以Q与Q’点必是共轭点，QH与Q’H’也是一对共轭面1/12/2023101哈工大光电测控技术与装备研究所结论：主平面的横向放大率为＋1。※

在追迹光线时，出射光线在像方主平面上的投射高度一定与入射光线在物方主平面上的投射高度相等。QH与Q’H’在光轴同侧，且高度都为h，故其横向放大率为：β＝＋1光学系统E1E

kBAO1OKP1P

kFF'Q'QH'H-ff’hh1/12/2023102哈工大光电测控技术与装备研究所单个折射球面的主平面和焦点

一、球面的主点位置

在近轴区，单个折射球面成完善像。在这种情况下，可以看成理想光组，也具有基点、基面。主平面上，β＝1，由近轴区横向放大率公式：显然，要使上式成立，只能

l’

=l=0因此对于单个折射球面而言，H，H’和O

相重合，而且物方主平面和像方主平面与球面顶点O相切。1/12/2023103哈工大光电测控技术与装备研究所二、球面焦距公式

在主点已知的情况下，只要求得单个折射面的焦距即可确定相应焦点和焦平面的位置。当物点位于物方焦点时，有：

l=f,l’=∞代入公式可得单个折射球面的物方焦距：1/12/2023104哈工大光电测控技术与装备研究所以H

为原点，即可确定物方焦点F和物方焦平面的位置同理，可求得单个折射球面的像方焦距为：对于单个反射球面，有n’=-n。由上两个公式可以得出：1/12/2023105哈工大光电测控技术与装备研究所将n’=-n

代入以下各式：可得单个反射面的放大率公式：1/12/2023106哈工大光电测控技术与装备研究所三、球面节点节点：角放大率γ＝1的一对共轭点。由公式可知：得：l’=l=r代入公式结论：单个折射球面得一对节点（J、J’）均位于球心C，不与主点重合。原因：n≠n’1/12/2023107哈工大光电测控技术与装备研究所同理，对于反射球面，同样有：l’

=l=r由于单个折（反）射球面在近轴区可以看成是理想光组，因此它的成像特性可以应用理想光组中的所有公式单个反射球面的一对节点（J、J’）均位于球心C。注意：两边折射率不同！切勿采用光组位于同一介质中的公式！折射：n,n’反射：n,-n1/12/2023108哈工大光电测控技术与装备研究所小结：-f

f’H’HFF’物方焦距物方主点像方焦距像方主点物方主平面像方主平面一对共轭面，两对共轭点是最常用的共轴系统的基点一对共轭面：两个主平面。两对共轭点：无限远轴上物点与F’，F与无限远轴上像点。它们构成了一个光学系统的基本模型。提问：物方焦平面与像方焦平面是不是共轭面？不是！！!1/12/2023109哈工大光电测控技术与装备研究所如果已知共轴光学系统的一对主平面和两个焦点的位置，就能根据它们找出物空间任意物点的像！1/12/2023110哈工大光电测控技术与装备研究所※

若f

’

>0，为正光组（会聚光组）

若f’<0，为负光组（发散光组）记住喽，做题时先判断光组的正负！FF’HH’正光组F’FHH’负光组1/12/2023111哈工大光电测控技术与装备研究所§2-9用作图法求光学系统的理想像

(§2-8)※已知一个理想光学系统的主点和焦点的位置，利用光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线、面通过画图追踪典型光线求像，称为图解法求像。这可是重点呦！1/12/2023112哈工大光电测控技术与装备研究所可供选择的典型光线和可供利用的性质有：（1）平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点。F’HH’1/12/2023113哈工大光电测控技术与装备研究所（2）过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴。FH’H1/12/2023114哈工大光电测控技术与装备研究所（3）倾斜于光轴的平行光线，经过系统后交于像方焦平面上某一点。-wF'H’H1/12/2023115哈工大光电测控技术与装备研究所（4）自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束。（5）共轭光线在主平面上的投射高度相等，即一对主平面的横向放大率为＋1。FH’H1/12/2023116哈工大光电测控技术与装备研究所（6）光轴上的物点其像必在光轴上。（7）过主点光线方向不变。HH’再次强调：作图时先注意光组的正负，看物方焦点F和像方焦点F’的位置。1/12/2023117哈工大光电测控技术与装备研究所已知F和F’，求轴上点A的像AA’FF’方法1：过F作物方焦平面，与A点发出的光线交于N，以N为辅助物，从N点作平行与光轴的直线，经过光组后交于像方焦点F’，则AN光线过光组后与辅助光线平行，与光轴的交点既是A’。N（一）正光组轴上点作图HH’1/12/2023118哈工大光电测控技术与装备研究所方法2：过F作辅助线，过光组后与光轴平行，交像方焦平面于N’，则A点射出的与辅助光线平行的光线过光组后过

N’点，与光轴交点即是A’。AA’FF’N’HH’1/12/2023119哈工大光电测控技术与装备研究所方法３：

过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’就是A的像。AA’FF’HH’BB’1/12/2023120哈工大光电测控技术与装备研究所方法4：

利用过主点光线方向不变，作过主点的辅助光线。利用像方焦平面上发出的光线过光组后平行射出的性质。然后作平行辅助光线的出射光线。AA’FF’NHH’1/12/2023121哈工大光电测控技术与装备研究所也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后交于像方焦平面。AA’FF’N’HH’1/12/2023122哈工大光电测控技术与装备研究所Q’（二）负光组轴上点作图★FF’HH’A’AN方法1：（1）AQQ（4）NR（3）延长AQ到NR（2）辅助焦平面（5）RR’（主面上投射高度相等）R’（6）R’F’（7）QQ’（8）Q’A’//R’F’（物方焦平面一点发出的光线过光组后平行射出）1/12/2023123哈工大光电测控技术与装备研究所方法2：（1）AQ（5）H’R’//RH（3）RH//AQ（4）辅助面F’（6）反向延长H’R’交辅助面F’于N（2）QQ’（7）NQ’于光轴交点既是A’（物方平行光线出射后反向延长线会聚于像方焦平面上一点）FF’HH’A’ANQRR’Q’1/12/2023124哈工大光电测控技术与装备研究所方法3：（3）QQ’（4）由Q’作直线过F’（5）BH（2）由B作BQ//光轴（8）由B’作直线垂线于光轴交点即是A’（1）辅助物AB（6）H’N（7）反向延长H’N，于Q’F’交于B’FF’HH’A’ANQB’Q’B1/12/2023125哈工大光电测控技术与装备研究所（三）正光组，实物成像已知理想光组的物方焦点F和像方焦点F’，求物AB的像（a）物在二倍焦距外成倒立缩小实像；像在一倍焦距外，二倍焦距内。物、像在两侧BAA’FF’HH’B’2F’2F1/12/2023126哈工大光电测控技术与装备研究所

实物成等大倒立实像，位于二倍像方焦点上。分立两侧(b)物在二倍焦距上AA’FF’HH’BB’2F’2F1/12/2023127哈工大光电测控技术与装备研究所（c）物在二倍焦距之内，一倍焦距之外成放大倒立实像，像在二倍焦距外两侧AA’FF’HH’BB’2F’2F1/12/2023128哈工大光电测控技术与装备研究所（d）物在焦平面上成像于像方无限远,两侧AFF’HH’B2F’2F1/12/2023129哈工大光电测控技术与装备研究所(e)物在一倍焦距内实物成放大正立虚像，同侧AFF’HH’B2F’2FA’B’1/12/2023130哈工大光电测控技术与装备研究所（四）正光组、虚物成像(a)虚物在一倍焦距内FF’ABA’B’缩小正立实像（一倍焦距之内），物像同侧H’H1/12/2023131哈工大光电测控技术与装备研究所(b)虚物在一倍焦距之外，二倍焦距之内成正立、缩小、实像（一倍焦距之内），物像同侧FF’ABA’B’H’H2F’1/12/2023132哈工大光电测控技术与装备研究所(c)虚物在二倍焦距之外成正立、缩小、实像（一倍焦距之内），物像同侧FF’ABA’B’H’H2F’1/12/2023133哈工大光电测控技术与装备研究所（五）负光组，实物成像（a）物在二倍焦距外像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’1/12/2023134哈工大光电测控技术与装备研究所（b）物在一倍焦距外，二倍焦距内像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’1/12/2023135哈工大光电测控技术与装备研究所（c）物在一倍焦距内像：缩小正立虚像，同侧，一倍焦距内AFF’HH’B2F’2FA’B’1/12/2023136哈工大光电测控技术与装备研究所（六）负光组，虚物成像（a）虚物，右侧，一倍焦距内像：放大正立实像，同侧AFF’HH’BA’B’1/12/2023137哈工大光电测控技术与装备研究所（b）虚物，右侧，一倍焦距以外，二倍焦距以内像：放大，倒立，虚像，两侧AFF’HH’BA’B’2F’2F1/12/2023138哈工大光电测控技术与装备研究所（c）虚物，右侧，二倍焦距以外像：倒立、缩小、虚像，两侧，一倍焦距外AFF’HH’BA’B’2F’2F1/12/2023139哈工大光电测控技术与装备研究所求物的位置AFF’HH’BA’B’1/12/2023140哈工大光电测控技术与装备研究所ABFF’HH’A’B’求像？1/12/2023141哈工大光电测控技术与装备研究所

H1F1H1'F1´H2H2'F2´F2求光线出射方向1/12/2023142§2-10理想光学系统的物像关系式

(§2-9)BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'x—以物方焦点为原点的物距。称为焦物距。以F为起始点，x方向与光线方向一致为正。（图中为-）x’—以像方焦点为原点的像距。称为焦像距。以F’为起始点，x’方向与光线方向一致为正。（图中为+）1/12/2023143哈工大光电测控技术与装备研究所l—物方主点H为原点的物距，称为主物距。方向与光线方向一致为正。反之为负（图中-）l’

—像方主点H’为原点的像距，称为主像距。方向与光线方向一致为正。反之为负（图中+）BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'1/12/2023144哈工大光电测控技术与装备研究所一、牛顿公式由相似三角形BAF和FHR可得由相似三角形Q’H’F’和F’A’B’BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'1/12/2023145哈工大光电测控技术与装备研究所由以上两式得：以焦点为原点的物像位置公式，通常称为牛顿公式BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'一、牛顿公式1/12/2023146哈工大光电测控技术与装备研究所二、高斯公式物像位置也可相对主点的位置来确定，相应位置公式推导如下：代入牛顿公式并整理：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'1/12/2023147哈工大光电测控技术与装备研究所两边同除得到以主点为原点的物像位置公式—高斯公式BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'二、高斯公式1/12/2023148哈工大光电测控技术与装备研究所§2-11光学系统的放大率(§2-10)一、垂轴（横向）放大率第一种表达方式：

光组焦距一定时，物在距焦点距离不同时，垂轴放大率也不同。用焦物距、焦像距与焦距的表达的关系1/12/2023149哈工大光电测控技术与装备研究所第二种表达方式：用主物距、主像距与焦距表达由牛顿公式：及物方焦距和像方焦距的关系公式：可以推出垂轴放大率的另一种形式：当光组处于同一介质中时，n=n

’,有：与单个折射球面近轴放大率公式完全相同，说明理想光组性质可以在近轴区实现。再利用：1/12/2023150哈工大光电测控技术与装备研究所二、轴向放大率定义：物体沿光轴移动一微小距离，与像点相应移动的位移之比。1）与共轴球面系统放大一致。2）光组位于同一介质，

3）立方体不再是立方体，失真。可导出：1/12/2023151哈工大光电测控技术与装备研究所三、角放大率角放大率定义：

由图：与物像位置有关AA’FF’NHH’-uu’1/12/2023152哈工大光电测控技术与装备研究所角放大率与横向放大率之间的关系：光组某共轭面的横向放大率确定后，该共轭面的轴向、角放大率也确定了。位于同一介质中时：由将横向放大率公式代入上式并整理后可得:可得:1/12/2023153哈工大光电测控技术与装备研究所四、三种放大率之间的关系1/12/2023154哈工大光电测控技术与装备研究所§2-12物方焦距和像方焦距的关系由直角三角形AMH和A’M’H’得：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h1/12/2023155哈工大光电测控技术与装备研究所通分整理后得：BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h1/12/2023156哈工大光电测控技术与装备研究所近轴区：tgu=u,tgu’=u’相除后得到光组f

和f’

之间的重要公式BAR'RH'HQQ'B'FF'A'-xx'f'-fy-y'-ll'MM'-uu'h1/12/2023157哈工大光电测控技术与装备研究所此公式表明，光学系统的像方焦距与物方焦距之比等于相应介质折射率之比。当n=n’

时，有：-f=f’牛顿公式可以写成：高斯公式可以写成：※※※1/12/2023158哈工大光电测控技术与装备研究所光学系统的光焦度例：有二光组，f1’=-f1=50mm,

l1=-100mm

f2’=-f2=20mml2=-100mm,

物距相同，求上述两种情况下的像距1/12/2023159哈工大光电测控技术与装备研究所用高斯公式

解得：l1’=100mml2’=25mm结论：物距相同而焦距不同时，焦距短的光组对光束会聚的能力强些。1/12/2023160哈工大光电测控技术与装备研究所如何计算光焦度：利用将高斯公式写成则上式可写成：令：1/12/2023161哈工大光电测控技术与装备研究所Σ和Σ’就代表光束的会聚度，若Σ或Σ’为正，则光束是会聚的，反之则表示光束是发散的。空气中：意义：表示光学系统对光束会聚（或发散）的本领。f

’或f越小，Ф越大。Φ则称为光学系统的光焦度。1/12/2023162哈工大光电测控技术与装备研究所讨论：（3）平行平板，f’为＋∞，Φ＝０，对光束不起会聚或发散作用。（1）Φ>0,(f

’>0),会聚光组，Φ愈大，汇聚本领愈大，反之亦然。

（2）Φ<0,(f

’<0)，发散光组，Φ绝对值愈大，发散本领愈大，反之亦然。1/12/2023163哈工大光电测控技术与装备研究所光焦度的单位用来表示，它是在空气中焦距为1m的光学系统的光焦度。也叫屈光度，D。例：f’=2米，Φ

＝1/f’=0.5D

f’=－200mm,

Φ

＝1/f’=－5D

f

’=－500mm200度的近视镜，光焦度为－2D，其焦距为1/12/2023164哈工大光电测控技术与装备研究所理想光组的拉赫公式近轴光学的拉赫公式：理想光组对宽光束也能成完善像，因此不用将tgu

和tgu’

换成

u和u’。即：因此，近轴光学中的拉赫公式是理想光组拉赫公式在u和u’

很小时的情况。1/12/2023165哈工大光电测控技术与装备研究所放大率特性曲线光轴实物，虚像区虚物，实像区(I)(II)(III)(IV)βl∞∞2f(2f’)(2f)2f’F(F’)(F)F’12345670-1-2-3-4-5-6-71/12/2023166哈工大光电测控技术与装备研究所§2-13节平面和节点※节点定义：角放大率γ=+1的一对共轭点即：即：u’=u物空间物方节点

J

像空间像方节点

J’

HH'JJ'F'Fuu'-f

f'1/12/2023167哈工大光电测控技术与装备研究所在节点处有γ=+1，根据角放大率公式有所以有：※以F，F’为原点。HH'JJ'F'Fuu'-f

f'1/12/2023168哈工大光电测控技术与装备研究所性质：通过物方节点J

的入射光线，经光组后其出射光线必经过像方节点J’，且方向不变。在同一介质中，由于f’=-f,故有xj=-xj’※

即此时节点J

，J’

与主点H，H’

重合！HH'JJ'F'Fuu'1/12/2023169哈工大光电测控技术与装备研究所用途：作图、周视摄影、测定主、节点平行于光轴的光线入射光组，当光组绕通过像方节点J’的轴线摆动一个角度时，像点位置不变。用来寻找光学系统的主点、节点位置。HH'JJ'A'F'HH'J'JA'F’'a1/12/2023170哈工大光电测控技术与装备研究所节点架1/12/2023171哈工大光电测控技术与装备研究所B'B1'A1'A'AA1B1BJ'J摄影物镜周视照相机1）被摄影对像排成圆弧；2）底片安装以像方节点J’为圆心，成一圆弧；3）摄影时镜头绕J’旋转；4）每一瞬时小范围成像。1/12/2023172哈工大光电测控技术与装备研究所排成弧形1/12/2023173哈工大光电测控技术与装备研究所FB’ABHH’A’F’1/12/2023174哈工大光电测控技术与装备研究所HH’F’F1/12/2023175哈工大光电测控技术与装备研究所§2-14无限远物体理想像高的计算公式当物体位于无限远时，如何去计算理想像的像高？利用无限远物平面成像在像方焦平面上而物平面上的每一点所对应的光束对光学系统来说都是一束平行光线利用平行光束与系统光轴的夹角来表示无限远轴外物点的位置，并利用它来计算轴外物点的像高。1/12/2023176哈工大光电测控技术与装备研究所HH'F'f'B'y'-ω1/12/2023177哈工大光电测控技术与装备研究所HH'fFyBω′上述公式常用于平行光管分划板的计算1/12/2023178哈工大光电测控技术与装备研究所§2-15理想光学系统的组合

在光学系统的应用中，通常将两个或两个以上的光学系统组合在一起使用。它相当于一个怎样的等效系统？它的等效焦距是多少？它的等效焦点，等效主点又在什么地方？1/12/2023179哈工大光电测控技术与装备研究所※

两光组间距离d

：等于H1’H2※光学间隔Δ：第一光组像方焦点与第二光组物方焦点之间的距离F1’F2。符号规定：F1’到F2，

向右为正，反之为负。双光组组合F1H1H’1F1'F2D-f1d2

f1'-f2H2H’2F2'

f2'1/12/2023180哈工大光电测控技术与装备研究所等效光组的像方焦点、主点,以F2’

为原点确定，也可用H2’

为原点确定。同理，物方分别用F1

和H1确定。(P38,图2-41xF’应为+）用图解法求出组合光组的基点（面）：焦点、主点、焦距HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N21/12/2023181哈工大光电测控技术与装备研究所一、焦点位置公式F1’和F’相对第二光组共轭（第一光组像方焦点和组合光组像方焦点）由牛顿公式，有：其中有：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N21/12/2023182哈工大光电测控技术与装备研究所同理，F,F2相对第一光组共轭，组合光组物方焦点和第二光组物方焦点其中由牛顿公式：有：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N21/12/2023183哈工大光电测控技术与装备研究所等效光组的物方焦点相对于一光组物方主点位置：等效光组的像方焦点相对于二光组像方主点位置：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N21/12/2023184哈工大光电测控技术与装备研究所二、焦距公式∵⊿Q’H’F’～⊿N2’H2’F2’⊿Q1’H1’F1’～⊿F1’F2E2H’2N’2=F2E2由Q’H’=Q’1H’1有：所以：HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

f1'Q'H'Q2Q2'R1’N1'-f2H2H’2F2'F'-u'

f2'R2N2N2'

f-f’

-xF-xH-lF-lHxF’xH’lF’lH’R2’N21/12/2023185哈工大光电测控技术与装备研究所同理，∵⊿QHF～⊿F1H1N1⊿Q2H2F2～⊿F1’E1’F2有：所以：由QH=Q2H2

H1N1=F’1E’1HQFuF1Q1Q1'H1H’1F1'F2D-f1N11R1E1'E22d22

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