423直线与圆方程的应用

4.2.3直线与圆的方程的应用2013.10.28复习在平面直角坐标系下，与坐标有关的问题1.两点间距离公式2.直线的方程点到直线的距离，平行直线间距离3.圆的方程点、直线、圆和圆的位置关系4.解决问题的出发点2）几何方法1）代数方法譬如，用解方程组的方法判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系譬如，用平面几何相切的意义来判断直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系5.用建立坐标系的方法解决实际问题或平面几何中问题.

例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）ABA1A2A3A4OPP2

分析:如图所示，建立直角坐标系，求出圆弧所在的圆的方程，那么只要知道点P2的坐标，就可得出支柱A2P2的高度，化几何问题为代数问题.ABA1A2A3A4OPP2xy例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度

AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）yx思考:(用坐标法)

1.圆心和半径能直接求出吗？

2.怎样求出圆的方程？

3.怎样求出支柱A2P2的长度？解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m.

例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.Xyo

分析：许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系，由于四边形的对角线互相垂直，以对角线为坐标轴较好，进而设定四个顶点坐标，随后用坐标法验证本题的结论.AO’DCBE例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN分析：将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在求圆心坐标。解：如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。设过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：所以，OEMNxQABCD又

同理，可证其它所以即：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半反思：

用坐标法解决问题的步骤——“三步曲”1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）3、把代数运算结果“翻译”成几何结论几何

代数几何

例3如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.OABPCXy分析：建立适当的坐标系，求出点P所在的圆的方程，再写出点P到顶点的距离的平方和，用代数方法求出最值.O1MO2PNoyx

例4如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|=|PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？分析：建立适当的坐标系，求出点P的轨迹方程，在依据方程判断点P的运动轨迹.思想方法小结

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系.用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.“坐标法“三步曲作业P132