创新设计2013-2014学年高中数学人教b版选修4-5配套课件：3.1.2《数学归纳法应用举例 》

1．进一步理解数学归纳法原理．2．会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题．3．1.2数学归纳法应用举例知识点1用数学归纳法证明整除性问题【例1】已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2

＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除． 证明(1)当m＝1时，

a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)

＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.

即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除． ●反思感悟：本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难．这时，可转向用数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．证明

(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知原命题成立．知识点2探索问题 ●反思感悟：探索性问题一般从考查特例入手，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明，体现了从特殊到一般的数学思想．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360猜想：能整除f(n)的最大整数是36.证明如下：用数学归纳法．(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数．∴18(3k－1－1)能被36整除．∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除．由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除．知识点3用数学归纳法证明几何问题【例3】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．证明

(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立．(2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有：(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分．∴对n＝k＋1也成立．由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分． ●反思感悟：如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第(k＋1)个圆与其他k个圆的交点个数问题，通常要结合图形分析．课堂小结1．用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．随堂演练1．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明

(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．设n＝k(k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋