材料的宏微观力学性能第一章 弹塑性力学理论基础

第一章弹塑性力学理论基础本章内容1.1预备知识1.2应力1.3应变1.4应力应变关系1.1预备知识1.1.1弹塑性力学的研究对象和任务1.1.2弹塑性力学中的基本假设1.1.3弹性与塑性1.1.4张量概念和求和约定1.1.1弹塑性力学的研究对象和任务

★研究对象：可变形固体Deformationrigid

★受到外载荷、温度变化及边界约束变动等作用时，可变形固体的弹塑性变形和应力状态研究任务1.1.2弹塑性力学中的基本假设

连续性假设？

均匀性假设？

各向同性假设？

小变形假设？请回忆《材料力学》课程的假设1.1.3弹性与塑性物体卸载以后，就完全消失的那种变形。

卸载后不能消失而残留下来的那部分变形。弹性变形塑性变形弹性与塑性

低碳钢试件简单拉伸试验应力－应变曲线

:比例极限；:弹性极限；:屈服应力；:线弹性阶段；:非线性弹性阶段；:塑性流动阶段;:塑性应变；:弹性应变；特别注意卸载的路径强化：应力超出了弹性极限，就相当于增加了材料内部对变形的抵抗能力的性质。应力－应变曲线理想化模型四种简化的应力－应变理想模型(a)理想弹塑性模型；(b)理想刚塑性模型；(c)理想弹塑性线性强化模型；(d)理想刚塑性线性强化模型理想化模型的应用实例：如，受内压作用的厚壁筒取(a)理想弹塑性模型；形成塑性铰的梁取(b)理想刚塑性模型(a)(b)(c)(d)1.1.4张量概念和求和约定标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。张量：建立在选定的坐标系中，用若干个独立的分量才能表达出来的物理量。二阶张量，与对称的阶矩阵相对应。张量的阶一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等。张量的表示(下标记法)点的坐标：(x,y,z)→xi(i=1,2,3)应力张量：物理意义？且听下回分解！Einstein求和约定

求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1至3求和,而重复出现的下标称为求和标号，不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值

例如：柯氏符号与排列符号(或置换符号)柯氏符号：上式表示了九个量，但只有三个量不等于零。可用于换标，如排列符号：

或排列符号含有27个元素。其中指标按正序排列的三个元素为1，按逆序排列的三个元素为－1，其它带有重指标的元素都是0。张量导数张量导数：把张量的每个分量对坐标参数求导数。在笛卡儿直角坐标系中，张量的导数仍然是张量，张量导数的阶数比原张量高一阶。如一阶张量，矢量的导数是二阶张量。1.2应力

1.2.1外力和应力1.2.2平衡方程和边界条件1.2.3主应力和主方向1.2.4球形应力张量和应力偏量张量1.2.1外力和应力

外力的表示1.体力：分布在物体体积内的力，其大小与物体的质量成正比例如重力、磁力及运动物体的惯性力等。

物体在点P所受体力的集度：

矢量F在坐标轴上的投影称为该物体在点P的体力分量，以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方向时为负，量纲为[力][长度]-3。

外力的表示

2.面力：分布在物体表面上的力，例如流体压力和接触力。物体在点P所受面力的集度：

矢量T在坐标轴上的投影称为该物体在点P的体力分量,以沿坐标轴正方向时为正，沿坐标轴负方向时为负，量纲为[力][长度]-2外力的表示(a)体力;(b)面力(a)(b)应力用一个假想的闭合曲面把物体分成内、外两部分，简称内域和外域。假设当面元趋于P点，时，比值的极限存在，且面元上作用力的合力矩与的比值趋于零，则可定义

是作用在点P处法线为的面元上的应力矢量。

应力矢量应力矢量的特点与面力矢量的联系和区别：数学定义和物理量纲相同，但应力是作用在物体内截面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面上的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力的值。应力矢量的大小和方向不仅和点的位置有关，而且和面元法线方向有关。如何描述一点的应力状态？

一点的应力状态九个应力分量：第一个指标表示面元的法线方向，称面元指标。第二指标表示应力的分解方向，称方向指标。当时，应力分量垂直于面元,称为正应力。当时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。直角坐标系中的应力分量一点处应力分量正负的规定外法线与坐标轴同向的面元称为正面，反之为负面。

九个应力分量的正向规定;正面上与坐标轴同向为正；负面上与坐标轴反向为正

上述规定正确地反映了作用与反作用原理和“受拉为正、受压为负”的传统观念，数学处理也比较统一。但剪应力正向和材料力学规定不同。

1.2.2平衡方程和边界条件考虑单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件，按泰勒级数展开并略去高阶小量后，分别得到微元体沿x1方向、x2方向、x3方向的力的平衡条件，如右式：即运动微分方程：剪应力互等定律考虑微元体的力矩平衡。分别对通过形心C，沿x1，x2，x3方向的轴取矩，则得到剪应力互等定律：即：斜面应力公式由四面体微元的平衡条件，可以得到任意斜面上的应力公式，又称Cauchy(哥西)公式：其中,任意斜面上的应力斜面应力公式的应用1.求斜面上的各种应力

(已知正截面上的应力张量和斜面的法向矢量)斜面应力公式的应用2.给定力边界条件若斜面是物体的边界面，且给定面力，则未知应力场的力边界条件你会写出分量形式吗？1.2.3主应力和主方向

概念:当面元上只有正应力，剪应力等于零，此时的面元法线方向称为主方向，相应的正应力称为主应力，所在的面为主平面。求某个法线方向，使满足方程即,换标后,即求对的线性代数方程组你会用数学的语言表示吗？求解主应力和主方向线性代数方程组存在非零解的必要条件是系数行列式等于零，即得的特征方程

该方程的三个特征根即为主应力值，将主应力值代入线性方程组，即可求得各主应力值对应的主方向。通常，将主应力按其代数值的大小排列，称为第一主应力,第二主应力和第三主应力。你是否发现张量与矩阵的某种关系？应力张量的不变量

特征方程中出项的系数J1、J2、J3分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。应力张量的不变量的具体表述与坐标轴的选取无关1.2.4球形应力张量和应力偏量张量

某一点处的应力状态可以分解为两部分，球形应力张量和应力偏量张量，即其中，应力偏量张量的不变量应力偏量张量的第一不变量应力偏量张量的第二不变量应力偏量张量的第三不变量因恒负，常改写为1.3应变

1.3.1变形和应变1.3.2协调方程1.3.3主应变和主方向1.3.1变形和应变1.位移的描述

刚体位移变形

构形2.应变的描述

过点沿坐标轴方向取三个互相垂直的微线段、、，其长度分别为、、，物体在外力作用下发生变形，过点P的这三个微线段的长度和它们之间的夹角将发生改变。微线段相对长度的改变称为点的正应变，用表示。规定正应变以伸长为正，缩短为负。微线段间夹角的改变量称为点的剪应变，用表示。规定剪应变以微线段间夹角减少为正，增大为负。先复习材料力学中应变的定义。应变的感性认识！3.几何方程

由上图可知：线元的长度变化与方向改变是描述物体变形(包括体积变化和形状畸变)的关键量

长度变化：：：应变的理性认识！线元的长度平方为：

线元的长度平方为：

采用拉格朗日描述法()：

有：则：()应变的严格定义！则：采用拉格朗日描述法：

求导得

本课程的研究对象是位移比物体最小尺寸小得多的小变形情况，这时位移分量的一阶导数远小于1

略去高阶小量后因而在描述物体变形时，对坐标和可以不加区别

在小变形情况下称为哥西(Cauchy)应变张量或小应变张量，是二阶对称张量应变位移公式or几何方程应变位移方程或称为几何方程分析长度变化线元方向的单位矢量为为线元的方向余弦引进定义

表示变形前后线元的长度变化，称为长度比则

通常定义方向线元的工程正应变为变形后线元长度的相对变化即故有展开当取分别为时，有应变量张量的三个对角分量分别等于坐标轴方向三个线元的工程正应变分析方向改变线元方向的单位矢量为方向余弦利用，任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成

利用和的表达式，忽略二阶小量后可得故变形前的两个任意线元和，其单位矢量分别为和，方向余弦分别为和，和的夹角余弦为，其单位矢量分别为和，方向余弦分别为和变形后，两线元变为和，和的夹角余弦为

若变形前两方向的线元互相垂直，并令为变形后线元间直角的减小量，则通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变若为坐标轴方向的单位矢量，例如，其余的方向余弦均为零，则由上式得由上面的讨论可以看到，小应变张量的六个分量的几何意义是：当指标时，表示沿坐标轴方向线元的正应变。以伸长为正，缩短为负；当指标时，的两倍表示坐标轴与方向两个正交线元间的剪应变。以锐化(直角减小)为正，钝化(直角增加)为负。几何意义1.3.2应变协调方程

六个应变分量通过六个几何方程与三个位移相联系

给定，上式就是关于的微分方程。由于方程数目多于未知函数的数目，因此，若任意给定，方程不一定有解。只有当满足某种可积条件，或称应变协调关系时，才能由上述方程积分得到单值连续的位移场。

从几何上讲，若某一初始连续的物体按给定的应变状态变形时，能始终保持连续，既不开裂，又不重叠，则所给的应变是协调的，否则是不协调的(如下图)。

对于单值连续的位移场，位移分量对坐标的偏导数应与求导顺序无关，由此可以导出应变分量的协调条件。小应变张量的二阶偏导数为式中逗号前是分量指标，逗号后是导数指标

为了建立不同应变分量间的关系，把两个分量指标和两个导数指标双双对换可得同理

当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数与求导顺序无关，于是应变协调方程协调方程数目为六个，在直角坐标系中的常用形式是(22，11)或(11，22)

(33，22)或(22，33)

(11，33)或(33，11)

(23，11)或(31，21)(31，22)或(12，32)

(12，33)或(23，13)

综上所述，物体的变形可以用位移矢量场(三个位移分量)来描述，也可用应变张量场(六个应变分量)来描述。当用位移描述时，只要位移函数连续且足够光滑，协调方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须首先满足协调方程。只有从协调的应变场才能积分几何方程，得到相应的位移场。1.3.3主应变和主方向和讨论应力状态相类似。我们把剪应变等于零的面叫做主平面，主平面的法线方向叫做主应变方向，主平面上的正应变就是主应变。设为沿应变张量主方向的单位矢量，为相应的主应变，则按照张量主方向的定义有

令上式的系数行列式为零，就得到确定主应变的特征方程

其中分别称为第一、第二和第三应变不变量

沿主方向取出边长为、、的正六面体，变形后其相对体积变化为(略去高阶小量)

因此第一应变不变量表示每单位体积变形后的体积变化，又称体积应变。

和应力张量一样，应变张量也可分解为球形应变张量和应变偏量张量之和其中称为球形应变张量则称为应变偏量张量容易看出即应变偏量张量不产生体积变化，仅表示形状畸变

1.4应力应变关系

1.4.1广义虎克定律1.4.2弹性应变能函数1.4.3屈服函数和屈服面1.4.4两个常用屈服条件1.4.5增量理论1.4.6全量理论1.4.1广义虎克定律熟悉沿x方向单轴拉伸：同理，沿y或z方向单轴拉伸：

三个方向同时受力三向拉伸同时受到轴向拉伸和剪切作用时体积应变：平均应力：应力偏量张量与应变偏量张量：平面问题平面应力问题：薄板，在厚度方向无载荷平面应力的本构关系平面应变问题：长柱体，在z方向位移受到限制平面应变的本构关系可以写成统一形式！如何写？1.4.2弹性应变能函数当外力缓慢地(不致引起物体产生加速运动)加到物体上时,便可忽略系统的动能,同时也略去其他能量(如热能等)的消耗,则外力势能的变化就全部转化为应变能(一种势能)储存于物体的内部。设材料的应力应变关系为非线性的，各表面上的应力合力对微元所做的外力功应变能密度函数由应变能密度函数定义得：则其中，和分别为物体变形前后的应变能密度。取变形前的初始状态为参考状态，因而则意义：(1)变形过程中物体内储存起来的应变能密度等于单位体积的外力功；(2)变形后物体内的应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状态有关，而与物体达到最终变形状态前的变形历史无关。

体变能和畸变能由于体积变化所储存在单位体积内的应变能(简称为体变能)为：其中，弹性体积膨胀系数：由于形状变化所储存在单位体积内的应变能(简称为畸变能)为：总应变能为：1.4.3屈服函数和屈服曲面简单应力状态下,屈服应力可由简单拉伸(压缩)实验图明显看出,较复杂应力状态下的屈服条件,一般地要由实验确定.但对于理论分析来说,则要求在实验基础上给出屈服条件的解析表达式。在复杂应力状态下的初始弹性状态的界限称为屈服条件。一般说来它可以是应力，应变，时间，温度等的函数，可以写成屈服函数在六维应力空间中屈服曲面屈服函数其它形式的写法各向同性材料，与坐标的选取无关静水应力无关平面在主应力空间中，一点的应力状态可由向量来描述。设以表示主应力空间中三个坐标轴方向的单位向量，则向量是主应力偏向量，向量与主应力轴的夹角相等，正交于过原点的平面

所以应力偏向量总是在平面内，因而只要用两个参数就可以确定它。

屈服曲面则如果点是屈服点，那么直线上所有的点必然都是屈服点。在主应力空间内，屈服面是一个以直线为轴线且母线平行于直线(垂直于平面)的正圆柱面。重要结论！屈服曲面屈服曲线屈服曲面在平面上的投影为圆。屈服曲线的重要特性：屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点被原点包围在内，屈服曲线内部是弹性应力状态，外部则是塑性应力状态。屈服曲线与任意一条从坐标原点出发的向径必然相交一次，而且仅相交一次。

屈服曲线对于三个坐标轴及其垂线均对称。屈服曲线有六条对称线，这六条直线把屈服曲线分割成十二个成