湖南科技学院精品建设课程

第七章定积分第一节定积分的概念和可积条件

第二节定积分的基本性质第三节微积分基本定理第四节定积分在几何中的应用

第一节定积分的概念和可积条件一、定积分的概念二、可积条件一、定积分的概念：曲边梯形的面积：1)(x),(xb=，即是由连续曲线0(x曲边梯形的面积))(>ffy直线

xa轴==和x7.1.1所围成,如图:

可取以下为求曲边梯形的面积，,a:b[中取一系列的分在的做法]，1，2

x)，构成一种，点

(

niiL=2nxxxa<P10<x<<=L：分法：1.实例分析，x11]

[---=iiiiixxxxD的长度为：记小区间为梯形的面积个小的曲边的矩形面积近似代替这,那么这曲边梯形面积的近似值，若些小的矩形面积之和为就是整个大的求的曲边梯形的精确面积.存在，那么这个极限就是所要ix]

[上任取一点，在小区间ix1-(2)变速直线运动的路程

走过的路程，可先在T]

[21T，中取一系列的分点求一个以速度

作变速运动的物体从到)(tvS)

2

niti，L=1，，（,作成分法：<上任取一点

只要时间间隔充分小，就可以近似的看作是在时间段平均速度，中的22101TttttTn=<<<=L:P在每个小区间]

[1iitt，-于是整个路程S就近似等于这一段小的路程之和，即

,若当存在,那么这个极限就是所要求的路程的精确值.

上述两例，虽然实际背景不同，但都归结为同一种和式的极限问题.在许多其它领域的研究中，也大量的遇到诸如此类的和式的极限问题.从数学上统一的加以解决，这需要做两件事：(1)对这类问题进行数学抽象，建立严格的理论基础.(2)找到求这类极限值的有效方法.2.定积分的定义定义7.1.1设有界函数，在有定义，]

[ba，

2

，1n，i)

ix，（L=若在中任意取分点，做成,==xxx：210bxan<<<<L一种分法：P记小区间的长度为：

并记

若极限存在且极限值既与分法无关，又与的取法无关，则称在

Pix)x(f上可积，和式为

称为和，其极限值称为在分别称为积分的下限和上限.上的定积分，记为：这里这一定义也可用语言表述如下：,上的定积分.在是积，baxf)][(I7.1.1例解：由有理数和无理数在实数域上的稠密性，在每个因此不管怎样的分点中一定是既有有理数又有无理数.小区间全部取有理数时，当ixi全部取为无理数时，当xDirichlet于是，由定积分的定义，

函数不可积。由此例看出并不是所有函数都是可积的。于是下面给出函数可积的条件。)(xf二、可积条件和Darboux.1记：取定了分法后，定义和式它们分别称为相应于分法

为给出可积条件，先引入以下两个引理.若在原有分法中加入分点形成新的分法，引理7.1.1则大和不增，小和不减.引理7.1.2对定理）（Darboux对任意有界函数可积的充分必要条件Riemann2.定理7.1.1有界函数

可积的充分必要引理7.1.3条件是：对任意分法，当.lLDarbouxDarboux=小和的极限相等：大和与定理7.1.1也可等价地表述为定理7.1.2定理7.1.2有界函数可积的充分必要条件是：对任意分法推论1闭区间上的连续函数必定可积。推论2闭区间上的单调函数必定可积。思考:用定理7.1.2，再次讨论函数的可积性，说明用定理7.1.2判别不可积很方