高二数学314空间向量的正交分解及其坐标表示张用

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量根本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量根本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使都叫做基向量〔1〕任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

（2）

由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。〔3〕一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使

当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。1、向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习例1设且是空间的一个基底,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C例题讲解：7

4

二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量根本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)三、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3在空间直角坐标系O–x

y

z

中，对空间任一点P,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).

显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3例题讲解2、向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习3例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.例题空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ练习

.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)，那么的坐标为，点B的坐标为。2、点M〔2，-3，-4〕在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，变式空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设,用向量表示CBMNOA答案：

C1．a，b，c是不共面的三个向量，那么能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c答案：

C答案：

(1,1，－1)

(－1,0,1) 以下四个命题中正确的选项是()A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B．假设{a，b，c}为空间的一个基底，那么a，b，c全不是零向量C．假设向量a⊥b，那么a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底根据空间基底的定义逐个选项判断．

[解题过程]

答案：

B选项判断原因分析A×由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由不共面的三个向量才能表示B√基向量不共面，因此不可能有零向量C×基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个基向量两两垂直D×基底的构成必须是三个不共面的向量1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么()A．a与b共线 B．a与b同向C．a与b反向 D．a与b共面解析：由空间向量根本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错．答案：A2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出以下向量组：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案：

C由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心．解答此题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．1．对基底的理解(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以假设三个向量不共面，就说明它们都不是0.(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念．2．怎样正确理解空间向量根本定理？(1)空间向量根本定理说明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．(2)空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．3．如何理解空间向量与平面向量的正交分解？空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似，都需要事先提供一组基底，空间向量表示为p＝xa＋yb＋zc的形式，平面向量表示为p＝xa＋yb的形式．4．特殊向量的坐标表示(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x,0,0)；(