2023年高考理科数学试题及答案(全国卷2)

绝密★启用前【考试时间：6月7日15:00—17:00】2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第一卷〔选择题，共60分〕球的外表积公式S=4球的外表积公式S=4其中R表示球的半径，球的体积公式V=，其中R表示球的半径如果事件A、B互斥，那么P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕如果事件A、B相互独立，那么P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1－P)n－k本卷12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。一．选择题〔1〕设集合,,那么A．B.C.D(2)设a，b∈R且b≠0，假设复数是实数，那么A．B.C.D.(3)函数的图像关于A．y轴对称B.直线y=-xC.坐标原点对称D.直线y=x(4)假设，,,,那么A．B.C.D.〔5〕设变量x,y满足约束条件：那么的最小值为：A．-2B.-4C.-6D.-8〔6〕从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，那么选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A．B.C.D.〔7〕的展开式中x的系数是A．-4B.-3C.3D.4〔8〕假设动直线与函数和的图像分别交于M、N两点，那么的最大值为A．1B.C.D.2〔9〕设，那么双曲线的离心率e的取值范围是A．B.C.D.〔10〕正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，那么AE、SD所成的角的余弦值为A．B.C.D.〔11〕等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和，原点在等腰三角形的底边上，那么底边所在直线的斜率为A．B.C.D.〔12〕球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.假设两圆的公共弦长为2，那么两圆的圆心距等于A．B.C.D.第二卷〔非选择题，共90分〕二．填空题：〔本大题共4个小题，每题5分，共20分。〕把答案填在答题卡上。〔13〕设向量a=〔1，2〕，b=〔2，3〕.假设向量λa+b与向量c=〔4，-7〕共线，那么λ=.(14)设曲线在点〔0，1〕处的切线与直线垂直，那么a=.(15)F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.那么与的比值等于.(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①;充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)三．解答题：本大题共6个小题，共70分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)〔本小题总分值10分〕在△ABC中，，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求△ABC的面积,求BC的长.〔18〕〔本大题总分值12分〕购置某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，假设投保人在购置保险的一年度内出险，那么可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购置了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的本钱为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费〔单位：元〕.(19)(本大题总分值12分)如图，正四棱柱中，,点E在上且.(Ⅰ)证明：平面;(Ⅱ)求二面角的大小.(20)〔本大题总分值12分〕设数列的前n项和为.，，.(Ⅰ)设，求数列的通项公式；(Ⅱ)假设，，求a的取值范围.(21)〔本大题总分值12分〕设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.(Ⅰ)假设,求k的值；求四边形AEBF面积的最大值.(22)〔本大题总分值12分〕设函数.(Ⅰ)求的单调期间；(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.2023年高考试题答案〔理〕一、选择题123456789101112BACCDDBBBCAC提示：1、2、3、为奇函数4、5、当时，6、7、的系数为8、9、=在为单增函数，10、连结AC、BD相交于O点，连结OE，那么OE//SO，所以为所求角，设AB=2，那么OE=1，AE=，AO=，11、设底边斜率为Ｋ，直线与的斜率分别为，又原点在底边上，所以Ｋ＝３12、与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，那么四边形为矩形，所以ＯＯＯ２ＣＯ１二、填空题13、；14、，当时；15、设AB所在直线方程为，；16.两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。注：上面给出了四个充要条件。如果考生写出其他正确答案，同样给分。三、解答题17．解：〔Ⅰ〕由，得，由，得．所以． 5分〔Ⅱ〕由得，由〔Ⅰ〕知，故， 8分又，故，．所以． 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10000人中出险的人数为，那么．〔Ⅰ〕记表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，那么发生当且仅当， 2分，又，故． 5分〔Ⅱ〕该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与本钱的和．支出，盈利，盈利的期望为， 9分由知，，．〔元〕．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分19．解法一：依题设知，．〔Ⅰ〕连结交于点，那么．由三垂线定理知，． 3分ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1D1FHG由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面． 6分〔Ⅱ〕作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角． 8分，，．，．又，．．ABCDEAABCDEA1B1C1D1yxz解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如下列图直角坐标系．依题设，．，． 3分〔Ⅰ〕因为，，故，．又，所以平面． 6分〔Ⅱ〕设向量是平面的法向量，那么，．故，．令，那么，，． 9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为． 12分20．解：〔Ⅰ〕依题意，，即，由此得． 4分因此，所求通项公式为，．① 6分〔Ⅱ〕由①知，，于是，当时，，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．12分21．〔Ⅰ〕解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，． 2分如图，设，其中，DFByxADFByxAOE故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或． 6分〔Ⅱ〕解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，． 9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为 9分，当时，上式取等号．所以