2023年高考数学试卷(全国理)

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1． 〔〕 A． B． C． D．2．圆锥曲线 〔〕 A． B． C． D．3．设函数 〔〕 A．〔－1，1〕 B．〔－1，+〕 C． D．4．函数的最大值为 〔〕 A． B． C． D．25．圆的弦长为时，那么a= 〔〕 A． B． C． D．6．圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是〔〕 A． B． C． D．7．方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，那么 〔〕 A．1 B． C． D．8．双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为那么此双曲线的方程是 〔〕 A． B． C． D．9．函数 〔〕 A． B． C． D．10．长方形的四个项点A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔2，1〕和D〔0，1〕，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4〔入射解等于反射角〕，设P4坐标为〔的取值范围是 〔〕 A． B． C． D．11． 〔〕 A．3 B． C． D．612．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，那么此球的外表积为 〔〕 A．3 B．4 C．3 D．6二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数是.14．使成立的的取值范围是.15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着色方法共有种.〔以数字作答〕16．以下五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是.〔写出所有符合要求的图形序号〕三、解答题：本大题共6小题，共74分.解容许写出文字的说明，证明过程或演算步骤.17．〔本小题总分值12分〕 复数z的辐角为60°，且是和的等比中项.求.18．(本小题总分值12分) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G. 〔Ⅰ〕求A1B与平面ABD所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕； 〔Ⅱ〕求点A1到平面AED的距离.19．〔本小题总分值12分〕设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.20．〔本小题总分值12分〕在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O〔如图〕的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．〔本小题总分值14分〕 常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点〔如图〕，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？假设存在，求出这两点的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.22．〔本小题总分值12分，附加题4分〕 〔Ⅰ〕设中所有的数从小到大排列成的数列，即将数列各项按照上小下大，左小右大的原那么写成如下的三角形数表：35691012————————— 〔i〕写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；〔ii〕求.〔Ⅱ〕〔本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分〕设中所有的数都是从小到大排列成的数列，绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．C11．B12．A二、填空题13．14．〔-1，0〕15．7216．①④⑤三、解答题：17．解：设，那么复数由题设18．〔Ⅰ〕解：连结BG，那么BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，〔Ⅱ〕解：19．解：函数在R上单调递减不等式20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：〔1〕台风中心P〔〕的坐标为 此时台风侵袭的区域是 其中假设在t时刻城市O受到台风的侵袭，那么有即 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A〔－2，0〕，B〔2，0〕，C〔2，4a〕，D〔－2，4a〕设由此有E〔2，4ak〕，F〔2－4k，4a〕，G〔－2，4a－4ak〕直线OF的方程为：①直线GE的方程为：②从①，②消去参数k，得点P〔x,y〕坐标满足方程整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点P轨迹为椭圆的一局部，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。当时，点P到椭圆两个焦点〔的距离之和为定值。当时，点P到椭圆两个焦点〔0，的距离之和为定值2.22．〔本小题总分值12分，附加题4分〕〔Ⅰ〕解：〔i〕第四行17182024第五行33343