小学奥数染色及操作问题教师版

------.--.可修编-.第十一讲：染色与操作问题一、染色问题第十一讲：染色与操作问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.二、操作问题模块一、染色问题【例】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排735【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么B【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．】右图是某一套房子的平面图，共12【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．】在一个正方形的果园里，种有632，连小屋排成九行九列呢？【解析】下图(1的，走到第63(2出发,当走到80棵树应是黑色,而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例4】右图是半中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●. 因为马走“日”字，每步只能从○跳到或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●，要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发.44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（.因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●.也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重【例5】右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？【解析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图，有86相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以7【巩固】右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？【解析】将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.【巩固】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.【解析】1）能，黑白格数相等23）不能，黑白格数不等，而12】用11个和5个能否盖住8×8的大正方形?【解析】如右图，对8×8正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，】用11个和5个能否盖住8×8的大正方形?【解析】如右图，对8×8正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，要求盖住．注：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33【巩固】能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？【巩固】能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？【解析】将66的棋盘黑白相间染色（见右图，有18每卡片盖住的黑格数不是1就是9卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18【巩固】9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！【解析】本题若用传统的自然染色法，不能说明问题.我们对6×6正方形用四种颜色染色，因为要用1×4来覆盖．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．也为了使每个1×4长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图．这样，可以发现无论将1×4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出6×6，需9个1×4长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但实际上图中一共是9个l、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个1×4长方形拼出6×6正方形．【巩固】用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！【解析】如右图所示，将2×2或而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形.【例】对于表（1，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（加上的数可以不同，变为表2）？为什么？【解析】的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表.模块二、操作问题】0.然后90°将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？【解析】不可能.因为每次加上的数之和是1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍.999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999.】有7个苹果要平均分给125份．应该怎样分？7【解析】显然每人应该分

＝4+3

＝1+1．12 12 12 3 4于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分．【例】”“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1 1 ，次子得 ，给幼子 .不许流血，不许杀马.你们把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得2 3 9必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！【解析】这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以217除以3、用17除以9，老人原有17匹马，加上智者借、 和 ，分别得到了九匹、六匹和给的一匹，一共 18匹.于是三兄弟按照 18匹马的1 1 1、 和 ，分别得到了九匹、六匹和2 3 9匹.9+6+2=17（匹）.还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者., , 【巩固】甲、乙、丙、丁分29头.甲、乙、丙、丁分别得1 1 1 1, , 2 5 610

，应如何分？【解析】借一头羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3头羊，再将借得1头羊还回去.【例11】8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【解析】讲解此题前，教师可先问学生“3个金币，有1个假的比较轻，你称18个金币分成：组，把3和3进行称量，如果重量相同，称剩下的2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3个金币拿出，用天平称量2个，剩下1个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的.【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【解析】第一次在左右两托盘各放置3个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的．从中任取两个分别放在两托盘：如果平衡，剩下的一如3堆是很常见的分法．【例12】据说有一天，信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤.但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？【解析】信给两人说了一句话表：【巩固】大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？【解析】先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6(1【巩固】有一个小朋友叫小满，他学会了信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了两位农妇.两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！【解析】答案如表所示【例有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，克和300望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水【解析】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：大瓶往中瓶中倒满水．中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400小瓶中水倒回大瓶．中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100小瓶中水倒回大瓶．100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水．本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的．【例14】老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?【解析】有折线只能限定在这9个点的围之．我们把折线的围冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。【例15】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？【解析】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.【例1】如右图所示，将1～12.如果报出一个数a（在112之间，那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如3的位置顺时针走3个数的位置到达6就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时，可以走到7的位置？【解析】不存在.当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置.由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置.【例17】对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？【解析】同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到100数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.因为231和121都是11的倍数，不是1111的课后练习倍数.100不是11”课后练习练习1.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【解析】多少次弯。如左下图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确.练习2.如图1，对相邻的两格的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作经过若干次操作后由1成图2，则图2中A处的数是多少？【解析】按图中要求操作，图 3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变 .所以 A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.练习3.一个大桶装了12升水，另外有恰好能装8升和5把这12