离中趋势测量法

2023/1/121

所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。

例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如下：

A组：60，60，60，60，60

B组：58，59，60，61，62

C组：40，50，60，70，80

D组：80，80，80，80，80

数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数不同，离势可能相同。2023/1/122

变异指标如按数量关系来分有以下两类；凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。

变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。

2023/1/123第一节全距与四分位差1.全距(Range)

R=Xmax–Xmin

[例]求74，84，69，91，87，74，69这些数字的全距。

[解]把数字按顺序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，显然有

R=Xmax–Xmin

＝91—69＝22全距（R）：最大值和最小值之差。也叫极差。全距越大，表示变动越大。2023/1/124

运用上述方法计算左边数列的全距对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：（1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值（2）用组值最大组的上限减去最小组的下限（3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；或最大组的上限减去最小组的组中值2023/1/125优点：缺点：计算简单、直观。

（1）受极端值影响大；（2）没有量度中间各个单位间的差异性，数据利用率低，信息丧失严重；（3）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。2023/1/1262.四分位差(Quartiledeviation)

第三四分位数和第一四分位数的半距。避免全距受极端值影响大的缺点。

求下列两组成绩的四分位差：A:788082858987908679888481B:5568788899100989085838481

请大家计算一下，看能否算对2023/1/127第二节平均差(Meanabsolutedeviation)

要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值的算术平均数。

1.对于未分组资料

2.对于分组资料

3.平均差的性质

在受抽样变动、极端值影响，处理不确定组距方面均同于算术平均数；不适于代数运算，其理论意义不易阐述。2023/1/128[例1]试分别以算术平均数为基准，求85，69，69，74，87，91，74这些数字的平均差。

[例2]试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差。

计算左边数列的平均差2023/1/129第三节标准差（standarddeviation)

各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，均方差，又称用S表示。

即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平均的优点。1.对于未分组资科

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求72、81、86、69、57这些数字的标准差。2023/1/12112.对于分组资料

计算左边数列的标准差2023/1/1212

计算左边数列的标准差[例]调查大一男生60人的身高情况如下表所示，求他们身高的标准差。2023/1/1213[解]因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并参见下表2023/1/1214

标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最佳测度。（1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任何数值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方”性质——各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们对任何其他数偏差的平方和。（2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组距方面，缺点同算术平均数。值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的平方，它直接写成。也常被称为变异数。3.标准差的性质2023/1/12154.标准分(standardscore)

以离差和标准差的比值来测定变量与的相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相互比较，加、减、平均。

（1）Z是和X一一对应的变量值；（2）Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；（3）Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。2023/1/1216

Z分数也有标准正态变量之称。按Z值大小编制出的正态分布表，其用途十分广泛。

Z分数的性质：Z分数之和等于0Z分数的算术平均数等于0Z分数的标准差等于1，方差也等于12023/1/1217第四节相对离势

上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对离势。

1.变异系数

绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用V

表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。

2023/1/1218全距系数全距系数是众数据的全距与其算术平均数之比，其计算公式是平均差系数平均差系数是众数据的平均差与其算术平均数之比，其计算公式是标准差系数

标准差系数是众数据的标准差与其算术平均数之比，其计算公式是2023/1/1219

2.异众比率

所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数的比值，用V·R来表示

其中：为众数的频数；是总体单位数

异众比率能表明众数所不能代表的那一部分变量值在总体中的比重。2023/1/12203.偏态系数

我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，、、三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由与的差来表示，即

为了使不同数列的偏态值可比，同样可